site2wouf.fr : La tournée du jour

J'ai peur que l'Etat dépense moins bien mon argent que je ne le ferais.

Philippe Bouvard (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑫ rue de la MairieⒶ Place de l'Églisea la poste
② rue des Jardins⑬ boulevard du ParcⒷ Place aux Herbesb le gymnase
③ avenue de la Gare⑭ chemin de RondeⒸ Place du Vieux-Puitsc le marché couvert
④ rue Verte⑮ allée des TilleulsⒹ Rond-point du Pontd la salle des fêtes
⑤ impasse des Cerisiers⑯ rue NeuveⒺ Place Sainte-Croix
⑥ rue de l'Église⑰ rue des LilasⒻ Carrefour du Moulin
⑦ chemin des Vignes⑱ venelle du ChatⒼ Carrefour des Quatre-Chemins
⑧ rue Pasteur⑲ rue du StadeⒽ Rond-point des Vaches
⑨ rue du Four⑳ rue du MoulinⒿ Carrefour de la Mairie
⑩ rue Haute㉑ allée des PeupliersⓀ Coin du Lavoir
⑪ rue des ÉcolesⓁ Carrefour de l'Hôpital
Ⓜ Place des Tanneurs
Ⓟ Placette des Ormes
Ⓠ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22132464624222
Paritépairpairimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en L, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en L et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Place du Vieux-Puits (C), prend l'impasse des Cerisiers ⑤ vers le sud-ouest et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  2. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  3. Il continue tout droit dans le passage du Marché ①, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  5. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  6. Il prend dans la rue Verte ④, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (M).
  7. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ㉑, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (P).
  8. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  9. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  10. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ⑧, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (L).
  12. Il prend dans le chemin de Ronde ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (H).
  14. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (K).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  17. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (L).
  18. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑳, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché (Q).
  19. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑲, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (J).
  20. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑮, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (H).
  21. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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