site2wouf.fr : La tournée du jour

In theory, there is no difference between theory and practice. In practice, there is.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑩ allée des TilleulsⒶ Place de la Fontainea la poste
② rue de la Poste⑪ rue des ÉcolesⒷ Placette des Ormesb la boulangerie
③ impasse du Vieux-Four⑫ rue de l'ÉgliseⒸ Fontaine Notre-Damec l'école
④ rue Neuve⑬ rue VerteⒹ Place du Marché
⑤ rue des Lilas⑭ allée des PeupliersⒺ Carrefour des Tilleuls
⑥ avenue de la Gare⑮ chemin CreuxⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Pont⑯ impasse du PuitsⒼ Place du Vieux-Puits
⑧ rue Haute⑰ venelle du ChatⒽ Carrefour du Moulin
⑨ boulevard du Parc⑱ rue de la MairieⒿ Coin du Lavoir
Ⓚ Place aux Herbes
Ⓛ Place des Tanneurs
Ⓜ Carrefour des Quatre-Chemins
Ⓟ Rond-point de la Poste
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues2122642421244
Paritépairimpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, B et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en E et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de B à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de B :
  1. Il part de Placette des Ormes (B), prend l'impasse du Vieux-Four ③ vers le sud-ouest et atteint Carrefour du Lavoir (F).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (G).
  3. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑬, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  4. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (P).
  5. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  6. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  7. Il prend dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  9. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ②, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  10. Il tourne à droite dans le passage du Marché ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  11. Il tourne à droite dans la rue Neuve ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  13. Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (P).
  14. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (M).
  15. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  16. Il prend dans la rue Haute ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  17. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (M).
  18. Il prend dans l'impasse du Puits ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (K).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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