Activité 68 - La tournée du facteur

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.

Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.

Les rues		Les carrefours	Les bâtiments
① rue Haute	⑭ passage du Marché	Ⓐ Rond-point de la Gare	a la poste
② rue des Écoles	⑮ chemin Creux	Ⓑ Place de la Fontaine	b le cimetière
③ quai aux Fleurs	⑯ rue du Four	Ⓒ Carrefour Saint-Roch	c le stade
④ chemin des Vignes	⑰ rue Pasteur	Ⓓ Carrefour des Tilleuls	d l'école
⑤ avenue de la Gare	⑱ rue du Puits	Ⓔ Rond-point de la Poste	e le gymnase
⑥ boulevard du Parc	⑲ rue des Lilas	Ⓕ Placette des Ormes
⑦ rue du Stade	⑳ allée des Peupliers	Ⓖ Rond-point des Vaches
⑧ rue de l'Église	㉑ rue Neuve	Ⓗ Carrefour du Lavoir
⑨ venelle du Chat	㉒ rue des Jardins	Ⓙ Place du Marché
⑩ chemin de Ronde	㉓ allée des Tilleuls	Ⓚ Carrefour de l'Hôpital
⑪ rue du Pont	㉔ rue de la Mairie	Ⓛ Carrefour du Moulin
⑫ rue du Moulin	㉕ chemin du Lavoir	Ⓜ Place de l'Église
⑬ rue Verte	㉖ rue Basse	Ⓟ Rond-point du Pont
		Ⓠ Place du Vieux-Puits
		Ⓡ Place aux Herbes

Légende du plan

Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.

Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :

Carrefour	A	B	C	D	E	F	G	H	J	K	L	M	P	Q	R
Nombre de rues	3	2	6	4	3	2	3	4	2	8	4	2	5	2	2
Parité	impair	pair	pair	pair	impair	pair	impair	pair	pair	pair	pair	pair	impair	pair	pair

Vérification : la somme de ces nombres vaut 52 = 2 × 26, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.

Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, E, G, P — il y en a 4.

Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.

Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».

Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 1 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.

Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (A, E, G, P).

Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.

Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.

C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.

Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.

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🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

Avant Hamilton : l’héritage d’Euler (1736) — les ponts de Königsberg, d’où vient le critère de parité utilisé ici
Euler contre Hamilton : du critère local au casse-tête global — pourquoi passer par toutes les rues est facile, alors que passer par tous les carrefours ne l’est pas du tout

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Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 plans de quartier.
- Quand une tournée existe, l'itinéraire est construit puis rejoué rue par rue : chacune doit être empruntée exactement une fois.

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