site2wouf.fr : La tournée du jour

Le cercle n'est qu'une ligne droite revenue à son point de départ.

Frédéric Dard

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdeABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse du Vieux-Four⑫ rue du PuitsⒶ Coin du Lavoira la poste
② chemin des Vignes⑬ chemin CreuxⒷ Carrefour du Lavoirb la bibliothèque
③ rue de l'Église⑭ allée des TilleulsⒸ Place de l'Églisec le stade
④ avenue de la Gare⑮ rue du FourⒹ Place de la Fontained la pharmacie
⑤ passage du Marché⑯ rue des ÉcolesⒺ Place des Tanneurse l'école
⑥ rue des Jardins⑰ chemin du LavoirⒻ Rond-point de la Gare
⑦ rue Verte⑱ allée des PeupliersⒼ Carrefour Saint-Roch
⑧ rue du Stade⑲ rue NeuveⒽ Place aux Herbes
⑨ rue du Moulin⑳ rue de la PosteⒿ Rond-point du Stade
⑩ rue du Pont㉑ chemin de RondeⓀ Carrefour des Tilleuls
⑪ boulevard du Parc㉒ rue HauteⓁ Carrefour de la Mairie
Ⓜ Rond-point des Vaches
Ⓟ Place Sainte-Croix
Ⓠ Carrefour de l'Hôpital
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdeABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues14222662443323
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairimpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, L, M, Q — il y en a 4.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en Q, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (A, L, M, Q).
Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.
4.
Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.
C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.
Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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