site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑨ chemin de RondeⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② quai aux Fleurs⑩ chemin du LavoirⒷ Rond-point de la Gareb la gendarmerie
③ rue du Four⑪ rue du MoulinⒸ Fontaine Notre-Damec le lavoir
④ rue des Écoles⑫ rue HauteⒹ Carrefour Saint-Rochd l'église
⑤ avenue de la Gare⑬ rue NeuveⒺ Place du Marché
⑥ rue de l'Église⑭ chemin CreuxⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ allée des Tilleuls⑮ allée des PeupliersⒼ Carrefour de l'Hôpital
⑧ rue des LilasⒽ Placette des Ormes
Ⓙ Carrefour des Tilleuls
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues242624424
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 12 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue Haute ⑫ vers le nord-ouest jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  2. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ②, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
  3. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (B).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Four ③, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  5. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ④, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (B).
  7. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  9. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (E).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  11. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  12. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑩, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (J).
  13. Il prend dans le chemin Creux ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  14. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (H).
  15. Il prend dans l'allée des Peupliers ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (J).
  16. Il reprend alors la rue Haute ⑫, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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