site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdeABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Neuve⑨ venelle du ChatⒶ Place de la Fontainea la poste
② chemin de Ronde⑩ rue HauteⒷ Place de l'Égliseb le cimetière
③ quai aux Fleurs⑪ boulevard du ParcⒸ Carrefour des Quatre-Cheminsc le stade
④ allée des Tilleuls⑫ rue de la MairieⒹ Rond-point du Pontd l'école
⑤ rue des Écoles⑬ rue des LilasⒺ Place aux Herbese le lavoir
⑥ rue du Pont⑭ avenue de la GareⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue du Four⑮ chemin du LavoirⒼ Carrefour du Moulin
⑧ rue des JardinsⒽ Place du Marché
Ⓙ Coin du Lavoir
Ⓚ Rond-point des Vaches
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdeABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues2243246223
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en K, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en K et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Rond-point du Pont (D), prend l'allée des Tilleuls ④ vers le nord-ouest et atteint Place de l'Église (B).
  2. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ①, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  4. Il prend dans le chemin de Ronde ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  5. Il prend dans la rue des Écoles ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  7. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑦, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (E).
  9. Il prend dans la venelle du Chat ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  10. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  11. Il prend dans le boulevard du Parc ⑪, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (H).
  12. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (K).
  13. Il prend dans la rue des Lilas ⑬, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  14. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  15. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (K).

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