Réciproque de Pythagore : le triangle est-il rectangle ?

🎒 Pour les élèves

Trois longueurs, une question : le triangle est-il rectangle ? On ne peut pas le voir, il faut le calculer.
Repérez d'abord le plus grand côté. S'il y a un angle droit, c'est forcément lui l'hypoténuse, et le sommet de l'angle droit est celui qui lui est opposé.
Calculez ensuite les deux membres séparément : la somme des carrés des deux petits côtés d'un côté, le carré du grand de l'autre. Puis comparez.
⚠️ Ne mélangez pas les deux colonnes en une seule ligne de calcul : c'est la comparaison qui est notée, et le correcteur doit la voir.
La phrase de conclusion compte autant que le calcul. Elle change selon le cas : réciproque si l'égalité est vérifiée, contraposée si elle ne l'est pas.

4ème 3ème DNB

📽️ Pour les enseignants

La correction suit un modèle de rédaction fixe : titre en gras, repérage du plus grand côté, deux colonnes, conclusion rédigée avec les lettres de l'énoncé. C'est la rédaction qui est notée au brevet, pas le calcul.
Les deux cas sont distingués : réciproque pour conclure « oui », contraposée pour conclure « non » — avec, pour ce dernier, la rédaction raisonnée puis la formule courte.
Aucune figure, volontairement : un dessin donnerait la réponse, et une figure « non à l'échelle » ajoute un obstacle étranger à la question.
Le tirage oui / non est équilibré à 50 % : sans cela les élèves apprennent vite à répondre « non ».
Les cas « non » sont obtenus en décalant un côté de 1 ou 2 par rapport à un vrai triplet : impossible de trancher à l'œil, il faut calculer.

TBI Rédaction DNB Sans calculatrice

📋 Programme : Grandeurs et mesures — théorème de Pythagore et sa réciproque, caractériser un triangle rectangle à partir de ses longueurs (cycle 4). Automatisme et exercice rédigé quasi annuels au DNB. Texte en vigueur : arrêté du 9 novembre 2015 modifié.

📐 La technique

Le modèle de rédaction

Avec AB = 9, AC = 12 et BC = 15 :

Ce qu'on écrit	Pourquoi
Dans le triangle ABC	on annonce le triangle étudié
Le plus grand côté est BC.	on peut le penser seulement, mais l'écrire aide
BA² + AC² \| BC²	les deux membres, en colonnes séparées
81 + 144 = 225 \| 225	on calcule chacun de son côté
BA² + AC² = BC²	la comparaison, écrite avec les lettres
D'après la réciproque…, rectangle en A	la conclusion, avec le sommet

Réciproque ou contraposée ?

Si l'égalité est vérifiée, c'est la réciproque du théorème de Pythagore qui permet de conclure que le triangle est rectangle.

Si elle ne l'est pas, la réciproque ne dit rien : c'est la contraposée qui s'applique — si le triangle était rectangle, l'égalité serait vraie ; elle est fausse, donc il ne l'est pas. Les deux rédactions sont données dans la correction, la raisonnée et la courte.

Où se place l'angle droit

Toujours au sommet opposé au plus grand côté. Si le plus grand côté est BC, l'angle droit ne peut être qu'en A. C'est pour cela qu'on commence par repérer ce côté — et c'est là que se perdent le plus d'élèves, pas dans le calcul.

Sans calculatrice

Les longueurs sont choisies pour que les carrés restent calculables : au plus 30 dans l'onglet « en tête » (900 au maximum), au plus 50 dans l'onglet « posé ». L'onglet décimal reprend les mêmes triplets au dixième — 0,9 ; 1,2 ; 1,5 — et montre au passage que la propriété ne dépend pas de l'unité.

⚡ QF : Pythagore, calculer une longueur ⚡ QF : inégalité triangulaire ⚡ QF : trigonométrie ✏️ Exercices : Pythagore ⚡ Automatismes DNB 2026

Grandeurs et mesures — triangle rectangle

Ce triangle est-il rectangle ?

02:00

Dans le triangle EFG, on a GF = 12 cm, FE = 17 cm et GE = 20 cm.

Le triangle EFG est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Réponse

NON

Dans le triangle EFG

Le plus grand côté est GE.

GF² + FE²	GE²
12² + 17²	20²
144 + 289	400
433	400

GF² + FE² ≠ GE²

L’égalité de Pythagore n’étant pas respectée, le triangle EFG n’est pas rectangle. (S’il l’était, elle le serait d’après le théorème de Pythagore.)

plus court D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle EFG n’est pas rectangle.

S’il y a un angle droit, il est toujours au sommet opposé au plus grand côté : c’est pour cela qu’on commence par repérer ce côté.

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21 août 2026 : version 1.0.0 — les 100 fiches de la page Pythagore commençaient toutes par « Calculer » : la réciproque était annoncée mais jamais entraînée. La difficulté n'était pas d'écrire le générateur, c'était d'avoir assez de questions sans calculatrice : il n'existe que 11 triplets pythagoriciens d'hypoténuse ≤ 30 et 20 d'hypoténuse ≤ 50. Deux leviers lèvent la contrainte — les cas « non » obtenus en décalant un côté de 1 ou 2 (plus de 200 triangles serrés), et le nommage, puisque le sommet de l'angle droit suit le plus grand côté : un même triplet donne trois questions à réponses différentes. Au total plus de 2 800 énoncés distincts pour le seul onglet « en tête », à tirage oui / non équilibré.

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