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L'ennemi est con, il croit que c'est nous l'ennemi alors que c'est lui.
Pierre Desproges
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, pythagore, vous propose deux leçons, trois pages de questions flash, une page d'exercices (400 fiches), neuf devoirs (2 DS, 7 DM) en 3ème, une fiche de révision, 174 épreuves d'annales et trois articles de blog.
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Sa réciproque fait le chemin inverse et permet de démontrer qu'un triangle est rectangle. Au programme de 4ème, il reste l'un des outils les plus sollicités jusqu'au brevet.
📂 Thème parent : triangles-rectangles (213)
📕 3ème — 9 devoirs
Devoir surveillé à rédiger sur la copie, calculatrice autorisée. Il s'ouvre sur un problème de recherche — quels entiers possèdent exactement trois diviseurs — puis évalue le cours du moment : décomposition en facteurs premiers, fraction irréductible, racines carrées et encadrement, triangles semblables. La dernière partie révise le calcul littéral, la résolution d'équation et le théorème de Pythagore.
Un pavage par un triangle quelconque ouvre le devoir : autour d'un sommet, six triangles se rejoignent, ce qui conduit à démontrer que tout triangle pave le plan à partir de la somme de ses angles. La deuxième partie prépare le chapitre de géométrie avec les triangles semblables — rapports, coefficient d'agrandissement, angles correspondants et contre-exemple. La troisième révise le théorème de Pythagore, sa réciproque et une application concrète.
Ce devoir mobilise le calcul littéral à travers un programme de calcul : exprimer, développer, réduire et résoudre une équation simple. Il travaille aussi l'organisation et l'interprétation de données statistiques, avec l'étendue, la moyenne, la médiane, les effectifs et les pourcentages. Enfin, il évalue la capacité à utiliser le théorème de Pythagore, les périmètres, les aires et les conversions.
Compétences travaillées : utiliser le théorème de Pythagore pour justifier une construction, identifier des nombres pairs, impairs et premiers, calculer des carrés et des produits, et raisonner sur des situations de probabilité simples.
Ce devoir mobilise la classification des nombres, la recherche de diviseurs et de PGCD, ainsi que l'application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle. Les élèves exercent ainsi leurs compétences numériques et géométriques.
Ce devoir mobilise des compétences variées : l'utilisation d'un tableur et de formules simples pour organiser des données, la maîtrise des conversions d'unités de volume et de contenance, ainsi que l'application du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle pour déterminer une longueur.
Ce devoir mobilise plusieurs compétences clés. L'exercice sur la corde met en jeu le théorème de Pythagore pour calculer une hauteur. L'analyse du jeu de hasard permet d'utiliser un tableur pour simuler une situation probabiliste et interpréter les résultats. Le calcul de la consommation énergétique applique la formule E=P×t.
Ce devoir mobilise plusieurs compétences essentielles de niveau 3ème, telles que l'application du théorème de Pythagore et des relations trigonométriques dans des situations concrètes, la résolution de problèmes géométriques impliquant des triangles rectangles, ainsi que l'utilisation de l'écriture scientifique et des puissances.
Le devoir n°4 met en jeu des compétences en géométrie (démonstration de la nature d'un triangle rectangle, construction géométrique, tracé de médiatrices) et en résolution d'équations rationnelles complexes. Ces exercices renforcent la maîtrise des propriétés géométriques et la justification des calculs angulaires.
Fiche de révision thématique sur le théorème de Pythagore en 4ème. Rappel de l'énoncé, utilisation directe pour calculer une longueur, réciproque pour reconnaître un triangle rectangle. Exercices d'application variés.
Le thème pythagore apparaît dans 174 des 207 sujets de brevet du site (84 %), de 2008 à 2026 — quasiment toutes les sessions. Les six sujets les plus récents :
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série professionnelle, session Polynésie du 26 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points) et Partie 2 (14 points) : géométrie, et comparaison de trois tarifs de cinéma modélisés par des fonctions affines (tableur, graphique, équation).
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série professionnelle, session Antilles-Guyane du 30 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points) et Partie 2 (14 points) : angle de sécurité d'une échelle (trigonométrie), Euro de basket 2025 (proportionnalité et diagramme circulaire), comparaison de tarifs d'un club de basket (fonctions affines, graphique), tombola (probabilités).
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Polynésie du 26 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane, notation scientifique, aire d'un triangle, probabilité, pourcentage, développement, conversion de volumes). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — périmètres d'un rectangle et d'un triangle isocèle, tableur, programme de calcul et résolution d'une équation. Exercice 2 — figure géométrique (Thalès, Pythagore, trigonométrie). Exercice 3 — Jeux Olympiques 2024 : coordonnées géographiques de Tahiti sur une mappemonde, durée de vol et masse d'argent d'une médaille (cylindre).
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Métropole du 30 juin 2026, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (écriture fractionnaire, somme de relatifs, tableau de proportionnalité, probabilité, équation, écriture scientifique, diagramme circulaire, périmètre, cosinus). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — statistiques et proportionnalité sur le tableau des médailles des Jeux paralympiques de Paris 2024 (médiane, pourcentage d'augmentation). Exercice 2 — réciproque de Pythagore, théorème de Thalès, triangles semblables et aire d'un quadrilatère. Exercice 3 — fonction donnant le volume d'une boule : lecture graphique, formule V = 4/3 × π × R³, impression 3D et masse volumique. Exercice 4 — sachets de bonbons : PGCD et décomposition en facteurs premiers.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Centres étrangers du 18 juin 2026, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane de températures, translation de motifs, probabilité, cosinus, notation scientifique, vitesse moyenne, factorisation, pourcentage, lecture graphique d'une courbe de marée). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — théorème de Thalès sur deux triangles rectangles emboîtés, longueurs et périmètres. Exercice 2 — volume d'un bonbon en forme de gélule (cylindre + deux demi-boules) et comparaison de prix de sachets. Exercice 3 — deux programmes de calcul, programmation Scratch et résolution d'une équation par identité remarquable. Corrigé détaillé inclus.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Asie du 15 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (écriture scientifique, identité remarquable, volume d'un pavé droit, divisibilité par 9, vitesse moyenne, probabilité, pourcentage, angle dans un triangle rectangle, médiane sur un diagramme en barres). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — comparaison de deux offres pour l'achat d'un smartphone. Exercice 2 — théorème de Thalès et volume d'un gobelet en forme de tronc de cône. Exercice 3 — programmes de calcul et fonctions. Exercice 4 — carré et triangle équilatéral, programmation Scratch de frises. Corrigé détaillé inclus.
On ne part pas des trois énoncés, mais de ce que l'énoncé donne. Il n'existe que deux situations de départ, et chacune commande un outil et un seul. C'est ce choix — pas le calcul — qui fait la différence dans une copie.
On cherche le troisième côté : c'est le théorème direct. Le triangle est rectangle, on le sait déjà, on n'a rien à démontrer. Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse — le plus long des trois — et c'est lui qui est seul de son côté dans l'égalité.
Ici on ne calcule rien : on démontre. On repère le plus grand côté — l'angle droit, s'il existe, ne peut être qu'en face de lui — puis on compare son carré à la somme des carrés des deux autres. Deux issues, deux outils :
Les trois énoncés, dans un triangle ABC où l'on s'intéresse à un angle droit en A :
Théorème. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Réciproque. Si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.
Contraposée. Si BC² ≠ AB² + AC², alors ABC n'est pas rectangle en A.
Toute la rigueur tient dans le sens de lecture. Le théorème direct part de l'angle droit : il ne pourra jamais servir à l'établir. La réciproque et la contraposée, elles, partent des longueurs et concluent sur la nature du triangle. Confondre les deux sens, c'est supposer ce qu'on prétend démontrer.
Au brevet, Pythagore arrive rarement seul : il sert d'étape à l'intérieur d'un problème plus large — trouver une longueur pour ensuite calculer une aire ou un volume, établir par la réciproque qu'un angle est droit pour pouvoir enchaîner sur la trigonométrie, ou compléter une figure dont Thalès a déjà livré une première longueur. Savoir reconnaître qu'il faut l'utiliser vaut autant que savoir l'appliquer.
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