site2wouf.fr : Les allumettes du jour

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Simone de Beauvoir

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Fiche n°
mercredi 25 mars 2026

Le tas d'allumettes, la règle du jeu et les trois questions :

Le jeu des allumettes

Deux joueurs, Alice et Bruno, disposent d'un tas d'allumettes. Ils jouent chacun leur tour, Alice commence. À son tour, un joueur doit retirer 2, 3 ou 4 allumette(s) — pas le choix de passer.
Celui qui prend la dernière allumette gagne.
Voici le tas de départ, 33 allumettes :
Les questions montent en difficulté : la première se traite à la main, la dernière demande une règle générale et sa justification.
  1. Pour commencer, on joue avec un petit tas de 5 allumettes. Alice a-t-elle une façon de gagner à coup sûr ? On pourra examiner les situations une par une, en partant de 0 allumette.
  2. Revenons au tas de 33 allumettes. Qui gagne, si les deux joueurs jouent parfaitement ? Si c'est Alice, quel est son premier coup ?
  3. Décrire toutes les positions perdantes — celles où le joueur qui doit jouer est condamné, quoi qu'il fasse. Justifier la règle trouvée.

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Le jeu des allumettes — Correction

Le bon point de vue. Ne cherchons pas « quel coup jouer », mais classons chaque position (le nombre d'allumettes restantes) en deux catégories, du point de vue du joueur qui doit jouer :
  • une position est perdante si tous les coups possibles offrent à l'adversaire une position gagnante ;
  • une position est gagnante s'il existe au moins un coup donnant à l'adversaire une position perdante.
On construit ce classement à partir de la fin, en partant de 0 allumette. Se retrouver devant 0 allumette signifie que l'adversaire vient de prendre la dernière : il a gagné, donc 0 est une position perdante.
1. Construisons le tableau jusqu'à 5 :
Allumettes restantes012345
Le joueur qui doit jouerperdperdgagnegagnegagnegagne
Avec 5 allumettes, la position de départ est gagnante : Alice a une façon de l'emporter à coup sûr.
Son coup : retirer 4 allumette(s), ce qui laisse 1 — une position perdante pour Bruno.
2. Poursuivons le même tableau jusqu'à 33. Les positions perdantes rencontrées sont :
1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24, 25, 30, …
33 est une position gagnante : Alice gagne.
Son premier coup : retirer 2 allumette(s), ce qui laisse 31 — position perdante pour Bruno.
Ensuite, sa stratégie est mécanique : à chaque tour, elle ramène le tas sur la position perdante suivante. Bruno ne peut jamais y échapper.
3.
Les positions perdantes sont : 0, 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24, 25, 30, …
Il y a un motif. La suite des positions perdantes se répète avec une période de 6 : une position i est perdante exactement lorsque le reste de la division de i par 6 vaut 0 ou 1.
Pourquoi une période ? Le classement d'une position ne dépend que des 4 positions qui la précèdent. Comme il n'y a qu'un nombre fini de configurations possibles pour ces 4 cases, la suite finit nécessairement par se répéter — c'est le principe des tiroirs.
Ici 33 laisse le reste 3 dans la division par 6 : position gagnante.
Ce que cette famille apprend. Quand les coups autorisés ne forment plus une suite 1, 2, …, k, il n'y a pas de formule évidente : il faut construire le tableau. Mais un motif finit toujours par apparaître, et c'est lui qui donne la stratégie.
À retenir, bien au-delà des allumettes. Analyser un jeu à deux, c'est classer les positions en gagnantes et perdantes en remontant depuis la fin. La même méthode s'applique à quantité de jeux — et c'est exactement ce que fait un programme d'échecs, en beaucoup plus gros.

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