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Pourquoi, en vacances, s'obstine-t-on à choisir douze cartes postales différentes alors qu'elles sont destinées à douze personnes différentes ?
Sacha Guitry
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 52 et 425 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 19 inférieur à 314 ?
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 138 ?
9936 13392
1875 9016
Un maraîcher a récolté 330 salades et 180 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 18 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 52 et 425 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 52 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 425 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 19 inférieur à 314 ?
On effectue la division euclidienne de 314 par 19 :
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 138 ?
On effectue la division euclidienne de 138 par 8 :
| 9936 | 2 | 9936 = 24 × 33 × 23 |
| 4968 | 2 | |
| 2484 | 2 | |
| 1242 | 2 | |
| 621 | 3 | |
| 207 | 3 | |
| 69 | 3 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 13392 | 2 | 13392 = 24 × 33 × 31 |
| 6696 | 2 | |
| 3348 | 2 | |
| 1674 | 2 | |
| 837 | 3 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où9936 13392
=9936:432 13392:432
=23 31
1875 : { 1; 3; 5; 15; 25; 75; 125; 375; 625; 1875 }
9016 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 23; 28; 46; 49; 56; 92; 98; 161; 184; 196; 322; 392; 644; 1127; 1288; 2254; 4508; 9016 }
{ 1 }
PGCD(1875;9016) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1875 et 9016 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1875 9016
est irréductible.Un maraîcher a récolté 330 salades et 180 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
180 = 36 × 5, mais 330 = 36 × 9 + 6 : le reste n'est pas nul, 330 n'est pas divisible par 36.
On ne peut pas constituer 36 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).
330 = 10 × 33 et 180 = 10 × 18 : 330 et 180 sont tous les deux divisibles par 10.
On peut constituer 10 paniers (33 salades et 18 bottes de carottes dans chaque panier).
| 330 | 2 | 330 = 2 × 3 × 5 × 11 |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 330 et 180 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 330 et 180.
330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 180 = 22 × 32 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(330;180) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 paniers.
330 ÷ 30 = 11 et 180 ÷ 30 = 6.
Chaque panier contiendra 11 salades et 6 bottes de carottes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 18 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
54 = 3 × 18 : c'est un multiple de 18, le phare A émet donc un éclat (son 3e depuis minuit).
54 = 15 × 3 + 9 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas un multiple de 15.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 18 s, le phare B aux multiples de 15 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 18 et 15 : la première fois, au bout du PPCM.
18 = 2 × 32 et 15 = 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(18;15) = 2 × 32 × 5 = 90.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 90 s, soit 1 min 30 s.
90 ÷ 18 = 5 et 90 ÷ 15 = 6.
Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 6 éclats.
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