site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 3360 et 4340 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   3360 / 4340

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 8625 et 1856.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 8625 et 1856.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   8625 / 1856

Un chocolatier a confectionné 280 truffes au café et 252 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.

• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes au café.
• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes à la noix de coco.
• Toutes les truffes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 20 boîtes ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 280 est 2³ × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 252 ?
3. Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque boîte ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 40 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 50. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 40 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 731 par 6 :

• 731 = 6 × 121 + 5 et 5 < 6
• 731 = 726 + 5
• donc 726 < 731 < 732 (726 + 6)

On effectue la division euclidienne de 697 par 6 :

• 697 = 6 × 116 + 1 et 1 < 6
• 697 = 696 + 1
• donc 696 < 697 < 702 (696 + 6)

1. Décompositions :
   3360 = 2⁵ × 3 × 5 × 7
   4340 = 2² × 5 × 7 × 31
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(3360;4340) = 2⁵ × 3 × 5 × 7 × 31 = 104160
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(3360;4340) = 2² × 5 × 7 = 140
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   3360 / 4340

   =

   3360:140 / 4340:140

   =

   24 / 31

1. Les diviseurs :

   8625 : { 1; 3; 5; 15; 23; 25; 69; 75; 115; 125; 345; 375; 575; 1725; 2875; 8625 }
   1856 : { 1; 2; 4; 8; 16; 29; 32; 58; 64; 116; 232; 464; 928; 1856 }

2. Les diviseurs communs de 8625 et 1856 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 8625 et 1856 est :

   PGCD(8625;1856) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 8625 et 1856 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   8625 / 1856

   est irréductible.

Un chocolatier a confectionné 280 truffes au café et 252 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.

• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes au café.
• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes à la noix de coco.
• Toutes les truffes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 20 boîtes ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 280 est 2³ × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 252 ?
3. Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque boîte ?

1. Nombre de boîtes :

   280 = 20 × 14, mais 252 = 20 × 12 + 12 : le reste n'est pas nul, 252 n'est pas divisible par 20.
   On ne peut pas constituer 20 boîtes (tous les truffes à la noix de coco ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 280 = 2³ × 5 × 7.
   Décomposition de 252 :

   252	2	252 = 22 × 32 × 7
   126	2
   63	3
   21	3
   7	7
   1

3. Nombre maximal de boîtes :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 280 et 252 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 280 et 252.

   280 = 2³ × 5 × 7 et 252 = 2² × 3² × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(280;252) = 2² × 7 = 28.
   On pourra constituer au maximum 28 boîtes.

4. Composition de chaque boîte :

   280 ÷ 28 = 10 et 252 ÷ 28 = 9.
   Chaque boîte contiendra 10 truffes au café et 9 truffes à la noix de coco.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 40 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 50. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 40 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 7 h 50 :

   De 6 h 30 à 7 h 50, il s'écoule 80 min, et 80 = 2 × 40 : c'est un multiple de 40, donc un bus de la ligne A part à 7 h 50.
   80 = 24 × 3 + 8 : le reste n'est pas nul, 80 n'est pas un multiple de 24.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 50.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 40 :

   40	2	40 = 23 × 5
   20	2
   10	2
   5	5
   1

   Décomposition de 24 :

   24	2	24 = 23 × 3
   12	2
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 40 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 24 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 40 et 24 : la première fois, au bout du PPCM.

   40 = 2³ × 5 et 24 = 2³ × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(40;24) = 2³ × 3 × 5 = 120.
   Ils repartiront ensemble 120 min après 6 h 30, soit 2 h plus tard : à 8 h 30.

4. Nombre de tours :

   120 ÷ 40 = 3 et 120 ÷ 24 = 5.
   3 bus de la ligne A et 5 bus de la ligne B seront partis.