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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 811 et 556 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 182 ?
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 228 ?
272 3712
1539 6656
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 100 dragées blanches et 140 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 135 s et un pilote amateur en 216 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 811 et 556 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 811 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 556 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 182 ?
On effectue la division euclidienne de 182 par 16 :
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 228 ?
On effectue la division euclidienne de 228 par 10 :
| 272 | 2 | 272 = 24 × 17 |
| 136 | 2 | |
| 68 | 2 | |
| 34 | 2 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 3712 | 2 | 3712 = 27 × 29 |
| 1856 | 2 | |
| 928 | 2 | |
| 464 | 2 | |
| 232 | 2 | |
| 116 | 2 | |
| 58 | 2 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où272 3712
=272:16 3712:16
=17 232
1539 : { 1; 3; 9; 19; 27; 57; 81; 171; 513; 1539 }
6656 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 32; 52; 64; 104; 128; 208; 256; 416; 512; 832; 1664; 3328; 6656 }
{ 1 }
PGCD(1539;6656) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1539 et 6656 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1539 6656
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 100 dragées blanches et 140 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
100 = 10 × 10 et 140 = 10 × 14 : 100 et 140 sont tous les deux divisibles par 10.
On peut constituer 10 ballotins (10 dragées blanches et 14 dragées roses dans chaque ballotin).
140 = 35 × 4, mais 100 = 35 × 2 + 30 : le reste n'est pas nul, 100 n'est pas divisible par 35.
On ne peut pas constituer 35 ballotins (tous les dragées blanches ne seraient pas utilisés).
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 100 et 140 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 100 et 140.
100 = 22 × 52 et 140 = 22 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(100;140) = 22 × 5 = 20.
On pourra constituer au maximum 20 ballotins.
100 ÷ 20 = 5 et 140 ÷ 20 = 7.
Chaque ballotin contiendra 5 dragées blanches et 7 dragées roses.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 135 s et un pilote amateur en 216 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
405 = 3 × 135 : le professionnel a fait exactement 3 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
405 = 216 × 1 + 189 : le reste n'est pas nul, 405 n'est pas un multiple de 216.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 1 tour et 189 s.
| 135 | 3 | 135 = 33 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 216 | 2 | 216 = 23 × 33 |
| 108 | 2 | |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 135 s (aux multiples de 135), et l'amateur toutes les 216 s (aux multiples de 216). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 135 et 216 : la première fois, au bout du PPCM de 135 et 216.
135 = 33 × 5 et 216 = 23 × 33
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(135;216) = 23 × 33 × 5 = 1080.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1080 s, soit 18 min.
1080 ÷ 135 = 8 et 1080 ÷ 216 = 5.
Le professionnel aura fait 8 tours et l'amateur 5 tours.
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