site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 3645 et 15232 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   3645 / 15232

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 630 et 105.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 630 et 105.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   630 / 105

Un maraîcher a cueilli 88 pommes et 48 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.

• Tous les sacs contiennent le même nombre de pommes.
• Tous les sacs contiennent le même nombre de poires.
• Tous les fruits cueillis sont utilisés.

1. Peut-on constituer 2 sacs ? Et Peut-on constituer 48 sacs ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 88 est 2³ × 11.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 48 ?
3. Quel nombre maximal de sacs pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque sac ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes et ceux de la ligne B toutes les 45 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 00. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 30 et 45 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

On effectue la division euclidienne de 69 par 16 :

• 69 = 16 × 4 + 5 et 5 < 16
• 69 = 64 + 5
• donc 64 < 69 < 80 (64 + 16)

On effectue la division euclidienne de 622 par 16 :

• 622 = 16 × 38 + 14 et 14 < 16
• 622 = 608 + 14
• donc 608 < 622 < 624 (608 + 16)

1. Décompositions :
   3645 = 3⁶ × 5
   15232 = 2⁷ × 7 × 17
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(3645;15232) = 2⁷ × 3⁶ × 5 × 7 × 17 = 55520640
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(3645,15232) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3645 et 15232 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   3645 / 15232

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   630 : { 1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 14; 15; 18; 21; 30; 35; 42; 45; 63; 70; 90; 105; 126; 210; 315; 630 }
   105 : { 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105 }

2. Les diviseurs communs de 630 et 105 sont :

   { 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105 }

3. Le plus grand diviseur commun de 630 et 105 est :

   PGCD(630;105) = 105

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   630 / 105

   =

   630:105 / 105:105

   = 6

Un maraîcher a cueilli 88 pommes et 48 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.

• Tous les sacs contiennent le même nombre de pommes.
• Tous les sacs contiennent le même nombre de poires.
• Tous les fruits cueillis sont utilisés.

1. Peut-on constituer 2 sacs ? Et Peut-on constituer 48 sacs ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 88 est 2³ × 11.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 48 ?
3. Quel nombre maximal de sacs pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque sac ?

1. Nombre de sacs :

   88 = 2 × 44 et 48 = 2 × 24 : 88 et 48 sont tous les deux divisibles par 2.
   On peut constituer 2 sacs (44 pommes et 24 poires dans chaque sac).

   48 = 48 × 1, mais 88 = 48 × 1 + 40 : le reste n'est pas nul, 88 n'est pas divisible par 48.
   On ne peut pas constituer 48 sacs (tous les pommes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 88 = 2³ × 11.
   Décomposition de 48 :

   48	2	48 = 24 × 3
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

3. Nombre maximal de sacs :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 88 et 48 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 88 et 48.

   88 = 2³ × 11 et 48 = 2⁴ × 3
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(88;48) = 2³ = 8.
   On pourra constituer au maximum 8 sacs.

4. Composition de chaque sac :

   88 ÷ 8 = 11 et 48 ÷ 8 = 6.
   Chaque sac contiendra 11 pommes et 6 poires.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes et ceux de la ligne B toutes les 45 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 00. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 30 et 45 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

1. À 8 h 00 :

   De 7 h 00 à 8 h 00, il s'écoule 60 min, et 60 = 2 × 30 : c'est un multiple de 30, donc un bus de la ligne A part à 8 h 00.
   60 = 45 × 1 + 15 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 45.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 00.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 30 :

   30	2	30 = 2 × 3 × 5
   15	3
   5	5
   1

   Décomposition de 45 :

   45	3	45 = 32 × 5
   15	3
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 30 min après 7 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 45 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 30 et 45 : la première fois, au bout du PPCM.

   30 = 2 × 3 × 5 et 45 = 3² × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(30;45) = 2 × 3² × 5 = 90.
   Ils repartiront ensemble 90 min après 7 h 00, soit 1 h 30 min plus tard : à 8 h 30.

4. Nombre de tours :

   90 ÷ 30 = 3 et 90 ÷ 45 = 2.
   3 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.