site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 4960 et 1701 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   4960 / 1701

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 637 et 48.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 637 et 48.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   637 / 48

Un maraîcher a cueilli 189 pommes et 270 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.

• Tous les sacs contiennent le même nombre de pommes.
• Tous les sacs contiennent le même nombre de poires.
• Tous les fruits cueillis sont utilisés.

1. Peut-on constituer 21 sacs ? Et Peut-on constituer 9 sacs ?
2. Décompose 189 et 270 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 189 et 270.
4. Quel nombre maximal de sacs pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque sac ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 21 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 42 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 21 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 145 par 16 :

• 145 = 16 × 9 + 1 et 1 < 16
• 145 = 144 + 1
• donc 144 < 145 < 160 (144 + 16)

On effectue la division euclidienne de 953 par 16 :

• 953 = 16 × 59 + 9 et 9 < 16
• 953 = 944 + 9
• donc 944 < 953 < 960 (944 + 16)

1. Décompositions :
   4960 = 2⁵ × 5 × 31
   1701 = 3⁵ × 7
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(4960;1701) = 2⁵ × 3⁵ × 5 × 7 × 31 = 8436960
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(4960,1701) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4960 et 1701 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   4960 / 1701

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   637 : { 1; 7; 13; 49; 91; 637 }
   48 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 }

2. Les diviseurs communs de 637 et 48 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 637 et 48 est :

   PGCD(637;48) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 637 et 48 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   637 / 48

   est irréductible.

Un maraîcher a cueilli 189 pommes et 270 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.

• Tous les sacs contiennent le même nombre de pommes.
• Tous les sacs contiennent le même nombre de poires.
• Tous les fruits cueillis sont utilisés.

1. Peut-on constituer 21 sacs ? Et Peut-on constituer 9 sacs ?
2. Décompose 189 et 270 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 189 et 270.
4. Quel nombre maximal de sacs pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque sac ?

1. Nombre de sacs :

   189 = 21 × 9, mais 270 = 21 × 12 + 18 : le reste n'est pas nul, 270 n'est pas divisible par 21.
   On ne peut pas constituer 21 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).

   189 = 9 × 21 et 270 = 9 × 30 : 189 et 270 sont tous les deux divisibles par 9.
   On peut constituer 9 sacs (21 pommes et 30 poires dans chaque sac).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 189 :

   189	3	189 = 33 × 7
   63	3
   21	3
   7	7
   1

   Décomposition de 270 :

   270	2	270 = 2 × 33 × 5
   135	3
   45	3
   15	3
   5	5
   1

3. Les diviseurs communs à 189 et 270 sont :

   { 1; 3; 9; 27 }

4. Nombre maximal de sacs :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 189 et 270 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 189 et 270.

   Le plus grand des diviseurs communs est 27.
   On pourra constituer au maximum 27 sacs.

5. Composition de chaque sac :

   189 ÷ 27 = 7 et 270 ÷ 27 = 10.
   Chaque sac contiendra 7 pommes et 10 poires.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 21 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 42 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 21 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 42 s :

   42 = 2 × 21 : c'est un multiple de 21, le phare A émet donc un éclat (son 2^e depuis minuit).
   42 = 12 × 3 + 6 : le reste n'est pas nul, 42 n'est pas un multiple de 12.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 21 :

   21	3	21 = 3 × 7
   7	7
   1

   Décomposition de 12 :

   12	2	12 = 22 × 3
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 21 s, le phare B aux multiples de 12 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 21 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.

   21 = 3 × 7 et 12 = 2² × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(21;12) = 2² × 3 × 7 = 84.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 84 s, soit 1 min 24 s.

4. Nombre de tours :

   84 ÷ 21 = 4 et 84 ÷ 12 = 7.
   Le phare A aura émis 4 éclats et le phare B 7 éclats.