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Le chemin le plus court d'un point à un autre est la ligne droite, à condition que les deux points soient bien en face l'un de l'autre.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 267 et 122 par deux multiples consécutifs de 6.
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 237 ?
Quel est le plus petit multiple de 14 supérieur à 104 ?
1360 3800
243 5950
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 350 garçons et les 385 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 18 dents et d'une roue B de 27 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 267 et 122 par deux multiples consécutifs de 6.
On effectue la division euclidienne de 267 par 6 :
On effectue la division euclidienne de 122 par 6 :
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 237 ?
On effectue la division euclidienne de 237 par 16 :
Quel est le plus petit multiple de 14 supérieur à 104 ?
On effectue la division euclidienne de 104 par 14 :
| 1360 | 2 | 1360 = 24 × 5 × 17 |
| 680 | 2 | |
| 340 | 2 | |
| 170 | 2 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 3800 | 2 | 3800 = 23 × 52 × 19 |
| 1900 | 2 | |
| 950 | 2 | |
| 475 | 5 | |
| 95 | 5 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1360 3800
=1360:40 3800:40
=34 95
243 : { 1; 3; 9; 27; 81; 243 }
5950 : { 1; 2; 5; 7; 10; 14; 17; 25; 34; 35; 50; 70; 85; 119; 170; 175; 238; 350; 425; 595; 850; 1190; 2975; 5950 }
{ 1 }
PGCD(243;5950) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 243 et 5950 sont premiers entre eux.
Donc la fraction243 5950
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 350 garçons et les 385 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
385 = 55 × 7, mais 350 = 55 × 6 + 20 : le reste n'est pas nul, 350 n'est pas divisible par 55.
On ne peut pas constituer 55 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
350 = 7 × 50 et 385 = 7 × 55 : 350 et 385 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 groupes (50 garçons et 55 filles dans chaque groupe).
| 385 | 5 | 385 = 5 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 350 et 385 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 350 et 385.
350 = 2 × 52 × 7 et 385 = 5 × 7 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(350;385) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 groupes.
350 ÷ 35 = 10 et 385 ÷ 35 = 11.
Chaque groupe contiendra 10 garçons et 11 filles.
Un engrenage est composé d'une roue A de 18 dents et d'une roue B de 27 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 18 = 36 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 36 = 27 × 1 + 9 : le reste n'est pas nul, 36 n'est pas un multiple de 27.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 27 | 3 | 27 = 33 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 18 et 27 : la première fois, au PPCM.
18 = 2 × 32 et 27 = 33
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(18;27) = 2 × 33 = 54.
Il passe 54 dents au point de contact, soit 54 ÷ 18 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
54 ÷ 27 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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