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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 571 et 398 par deux multiples consécutifs de 19.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 450 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 206 ?
680 13020
4131 1288
Un maraîcher a récolté 96 salades et 108 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 27 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 571 et 398 par deux multiples consécutifs de 19.
On effectue la division euclidienne de 571 par 19 :
On effectue la division euclidienne de 398 par 19 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 450 ?
On effectue la division euclidienne de 450 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 206 ?
On effectue la division euclidienne de 206 par 26 :
| 680 | 2 | 680 = 23 × 5 × 17 |
| 340 | 2 | |
| 170 | 2 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 13020 | 2 | 13020 = 22 × 3 × 5 × 7 × 31 |
| 6510 | 2 | |
| 3255 | 3 | |
| 1085 | 5 | |
| 217 | 7 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où680 13020
=680:20 13020:20
=34 651
4131 : { 1; 3; 9; 17; 27; 51; 81; 153; 243; 459; 1377; 4131 }
1288 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 23; 28; 46; 56; 92; 161; 184; 322; 644; 1288 }
{ 1 }
PGCD(4131;1288) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4131 et 1288 sont premiers entre eux.
Donc la fraction4131 1288
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a récolté 96 salades et 108 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
108 = 36 × 3, mais 96 = 36 × 2 + 24 : le reste n'est pas nul, 96 n'est pas divisible par 36.
On ne peut pas constituer 36 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).
| 96 | 2 | 96 = 25 × 3 |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 108 | 2 | 108 = 22 × 33 |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 96 et 108 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 96 et 108.
96 = 25 × 3 et 108 = 22 × 33
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(96;108) = 22 × 3 = 12.
On pourra constituer au maximum 12 paniers.
96 ÷ 12 = 8 et 108 ÷ 12 = 9.
Chaque panier contiendra 8 salades et 9 bottes de carottes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 27 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 36 = 72 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 72 = 27 × 2 + 18 : le reste n'est pas nul, 72 n'est pas un multiple de 27.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 27 | 3 | 27 = 33 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 36 et 27 : la première fois, au PPCM.
36 = 22 × 32 et 27 = 33
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(36;27) = 22 × 33 = 108.
Il passe 108 dents au point de contact, soit 108 ÷ 36 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
108 ÷ 27 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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