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Qui a des éléphants doit avoir de grandes portes.
Proverbe afghan
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 533 et 884 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 12 inférieur à 153 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 146 ?
3105 9856
434 189
Un chocolatier a confectionné 117 truffes au café et 312 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 27 dents et d'une roue B de 18 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 533 et 884 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 533 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 884 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 12 inférieur à 153 ?
On effectue la division euclidienne de 153 par 12 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 146 ?
On effectue la division euclidienne de 146 par 11 :
| 3105 | 3 | 3105 = 33 × 5 × 23 |
| 1035 | 3 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 9856 | 2 | 9856 = 27 × 7 × 11 |
| 4928 | 2 | |
| 2464 | 2 | |
| 1232 | 2 | |
| 616 | 2 | |
| 308 | 2 | |
| 154 | 2 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
3105 9856
est irréductible.434 : { 1; 2; 7; 14; 31; 62; 217; 434 }
189 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 63; 189 }
{ 1; 7 }
PGCD(434;189) = 7
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où434 189
=434:7 189:7
=62 27
Un chocolatier a confectionné 117 truffes au café et 312 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
312 = 4 × 78, mais 117 = 4 × 29 + 1 : le reste n'est pas nul, 117 n'est pas divisible par 4.
On ne peut pas constituer 4 boîtes (tous les truffes au café ne seraient pas utilisés).
| 312 | 2 | 312 = 23 × 3 × 13 |
| 156 | 2 | |
| 78 | 2 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 117 et 312 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 117 et 312.
117 = 32 × 13 et 312 = 23 × 3 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(117;312) = 3 × 13 = 39.
On pourra constituer au maximum 39 boîtes.
117 ÷ 39 = 3 et 312 ÷ 39 = 8.
Chaque boîte contiendra 3 truffes au café et 8 truffes à la noix de coco.
Un engrenage est composé d'une roue A de 27 dents et d'une roue B de 18 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 27 = 27 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 27 = 18 × 1 + 9 : le reste n'est pas nul, 27 n'est pas un multiple de 18.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 27 | 3 | 27 = 33 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 27 et 18 : la première fois, au PPCM.
27 = 33 et 18 = 2 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(27;18) = 2 × 33 = 54.
Il passe 54 dents au point de contact, soit 54 ÷ 27 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
54 ÷ 18 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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