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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 864 et 645 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 68 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 390 ?
6561 14336
328 560
La présidente d'un club de sport a acheté 360 autocollants et 330 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
Un engrenage est composé d'une roue A de 32 dents et d'une roue B de 40 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 864 et 645 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 864 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 645 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 68 ?
On effectue la division euclidienne de 68 par 3 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 390 ?
On effectue la division euclidienne de 390 par 27 :
| 6561 | 3 | 6561 = 38 |
| 2187 | 3 | |
| 729 | 3 | |
| 243 | 3 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 14336 | 2 | 14336 = 211 × 7 |
| 7168 | 2 | |
| 3584 | 2 | |
| 1792 | 2 | |
| 896 | 2 | |
| 448 | 2 | |
| 224 | 2 | |
| 112 | 2 | |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
6561 14336
est irréductible.328 : { 1; 2; 4; 8; 41; 82; 164; 328 }
560 : { 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 14; 16; 20; 28; 35; 40; 56; 70; 80; 112; 140; 280; 560 }
{ 1; 2; 4; 8 }
PGCD(328;560) = 8
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où328 560
=328:8 560:8
=41 70
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
La présidente d'un club de sport a acheté 360 autocollants et 330 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
360 = 4 × 90, mais 330 = 4 × 82 + 2 : le reste n'est pas nul, 330 n'est pas divisible par 4.
On ne peut pas constituer 4 sachets (tous les drapeaux ne seraient pas utilisés).
| 360 | 2 | 360 = 23 × 32 × 5 |
| 180 | 2 | |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 330 | 2 | 330 = 2 × 3 × 5 × 11 |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 360 et 330 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 360 et 330.
360 = 23 × 32 × 5 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(360;330) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 sachets.
360 ÷ 30 = 12 et 330 ÷ 30 = 11.
Chaque sachet contiendra 12 autocollants et 11 drapeaux.
Un engrenage est composé d'une roue A de 32 dents et d'une roue B de 40 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 32 = 64 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 64 = 40 × 1 + 24 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas un multiple de 40.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 32 | 2 | 32 = 25 |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 32 et 40 : la première fois, au PPCM.
32 = 25 et 40 = 23 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(32;40) = 25 × 5 = 160.
Il passe 160 dents au point de contact, soit 160 ÷ 32 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
160 ÷ 40 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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