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La faculté de citer est un substitut commode à l'intelligence.
Somerset Maugham
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 591 et 80 par deux multiples consécutifs de 6.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 405 ?
Quel est le plus petit multiple de 24 supérieur à 523 ?
5440 2380
520 7047
Un collectionneur de coquillages possède 165 cônes et 198 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 50 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 591 et 80 par deux multiples consécutifs de 6.
On effectue la division euclidienne de 591 par 6 :
On effectue la division euclidienne de 80 par 6 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 405 ?
On effectue la division euclidienne de 405 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 24 supérieur à 523 ?
On effectue la division euclidienne de 523 par 24 :
| 5440 | 2 | 5440 = 26 × 5 × 17 |
| 2720 | 2 | |
| 1360 | 2 | |
| 680 | 2 | |
| 340 | 2 | |
| 170 | 2 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 2380 | 2 | 2380 = 22 × 5 × 7 × 17 |
| 1190 | 2 | |
| 595 | 5 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5440 2380
=5440:340 2380:340
=16 7
520 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 13; 20; 26; 40; 52; 65; 104; 130; 260; 520 }
7047 : { 1; 3; 9; 27; 29; 81; 87; 243; 261; 783; 2349; 7047 }
{ 1 }
PGCD(520;7047) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 520 et 7047 sont premiers entre eux.
Donc la fraction520 7047
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un collectionneur de coquillages possède 165 cônes et 198 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
198 = 6 × 33, mais 165 = 6 × 27 + 3 : le reste n'est pas nul, 165 n'est pas divisible par 6.
On ne peut pas constituer 6 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).
| 165 | 3 | 165 = 3 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 198 | 2 | 198 = 2 × 32 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
{ 1; 3; 11; 33 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 165 et 198 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 165 et 198.
Le plus grand des diviseurs communs est 33.
On pourra constituer au maximum 33 lots.
165 ÷ 33 = 5 et 198 ÷ 33 = 6.
Chaque lot contiendra 5 cônes et 6 porcelaines.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 50 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 20 = 60 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 60 = 50 × 1 + 10 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 50.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 50 | 2 | 50 = 2 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 20 et 50 : la première fois, au PPCM.
20 = 22 × 5 et 50 = 2 × 52
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;50) = 22 × 52 = 100.
Il passe 100 dents au point de contact, soit 100 ÷ 20 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
100 ÷ 50 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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