site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 6656 et 1960 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   6656 / 1960

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 2205 et 416.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 2205 et 416.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   2205 / 416

Un collectionneur de coquillages possède 63 cônes et 54 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 18 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 63 est 3² × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 54 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 112 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 252 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 224 s, Camille est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de Dominique ?
2. Décompose 112 et 252 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 592 par 7 :

• 592 = 7 × 84 + 4 et 4 < 7
• 592 = 588 + 4
• donc 588 < 592 < 595 (588 + 7)

On effectue la division euclidienne de 146 par 7 :

• 146 = 7 × 20 + 6 et 6 < 7
• 146 = 140 + 6
• donc 140 < 146 < 147 (140 + 7)

1. Décompositions :
   6656 = 2⁹ × 13
   1960 = 2³ × 5 × 7²
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(6656;1960) = 2⁹ × 5 × 7² × 13 = 1630720
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(6656;1960) = 2³ = 8
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   6656 / 1960

   =

   6656:8 / 1960:8

   =

   832 / 245

1. Les diviseurs :

   2205 : { 1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 35; 45; 49; 63; 105; 147; 245; 315; 441; 735; 2205 }
   416 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 32; 52; 104; 208; 416 }

2. Les diviseurs communs de 2205 et 416 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 2205 et 416 est :

   PGCD(2205;416) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2205 et 416 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   2205 / 416

   est irréductible.

Un collectionneur de coquillages possède 63 cônes et 54 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 18 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 63 est 3² × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 54 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   54 = 18 × 3, mais 63 = 18 × 3 + 9 : le reste n'est pas nul, 63 n'est pas divisible par 18.
   On ne peut pas constituer 18 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 63 = 3² × 7.
   Décomposition de 54 :

   54	2	54 = 2 × 33
   27	3
   9	3
   3	3
   1

3. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 63 et 54 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 63 et 54.

   63 = 3² × 7 et 54 = 2 × 3³
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(63;54) = 3² = 9.
   On pourra constituer au maximum 9 lots.

4. Composition de chaque lot :

   63 ÷ 9 = 7 et 54 ÷ 9 = 6.
   Chaque lot contiendra 7 cônes et 6 porcelaines.

Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 112 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 252 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 224 s, Camille est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de Dominique ?
2. Décompose 112 et 252 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 224 s :

   224 = 2 × 112 : Camille a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   224 = 252 × 0 + 224 : le reste n'est pas nul, 224 n'est pas un multiple de 252.
   Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 0 tour et 224 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 112 :

   112	2	112 = 24 × 7
   56	2
   28	2
   14	2
   7	7
   1

   Décomposition de 252 :

   252	2	252 = 22 × 32 × 7
   126	2
   63	3
   21	3
   7	7
   1

3. Première rencontre :

   Camille passe sur la ligne de départ toutes les 112 s (aux multiples de 112), et Dominique toutes les 252 s (aux multiples de 252). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 112 et 252 : la première fois, au bout du PPCM de 112 et 252.

   112 = 2⁴ × 7 et 252 = 2² × 3² × 7
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(112;252) = 2⁴ × 3² × 7 = 1008.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1008 s, soit 16 min 48 s.

4. Nombre de tours :

   1008 ÷ 112 = 9 et 1008 ÷ 252 = 4.
   Camille aura fait 9 tours et Dominique 4 tours.