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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 93 et 386 par deux multiples consécutifs de 8.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 513 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 494 ?
15960 4140
15200 8019
Un maraîcher a cueilli 120 pommes et 210 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 21 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 93 et 386 par deux multiples consécutifs de 8.
On effectue la division euclidienne de 93 par 8 :
On effectue la division euclidienne de 386 par 8 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 513 ?
On effectue la division euclidienne de 513 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 494 ?
On effectue la division euclidienne de 494 par 21 :
| 15960 | 2 | 15960 = 23 × 3 × 5 × 7 × 19 |
| 7980 | 2 | |
| 3990 | 2 | |
| 1995 | 3 | |
| 665 | 5 | |
| 133 | 7 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 4140 | 2 | 4140 = 22 × 32 × 5 × 23 |
| 2070 | 2 | |
| 1035 | 3 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où15960 4140
=15960:60 4140:60
=266 69
15200 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 19; 20; 25; 32; 38; 40; 50; 76; 80; 95; 100; 152; 160; 190; 200; 304; 380; 400; 475; 608; 760; 800; 950; 1520; 1900; 3040; 3800; 7600; 15200 }
8019 : { 1; 3; 9; 11; 27; 33; 81; 99; 243; 297; 729; 891; 2673; 8019 }
{ 1 }
PGCD(15200;8019) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 15200 et 8019 sont premiers entre eux.
Donc la fraction15200 8019
est irréductible.Un maraîcher a cueilli 120 pommes et 210 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
120 = 40 × 3, mais 210 = 40 × 5 + 10 : le reste n'est pas nul, 210 n'est pas divisible par 40.
On ne peut pas constituer 40 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
| 120 | 2 | 120 = 23 × 3 × 5 |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 210 | 2 | 210 = 2 × 3 × 5 × 7 |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 120 et 210 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 120 et 210.
Le plus grand des diviseurs communs est 30.
On pourra constituer au maximum 30 sacs.
120 ÷ 30 = 4 et 210 ÷ 30 = 7.
Chaque sac contiendra 4 pommes et 7 poires.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 21 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
36 = 3 × 12 : c'est un multiple de 12, le phare A émet donc un éclat (son 3e depuis minuit).
36 = 21 × 1 + 15 : le reste n'est pas nul, 36 n'est pas un multiple de 21.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 12 s, le phare B aux multiples de 21 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 12 et 21 : la première fois, au bout du PPCM.
12 = 22 × 3 et 21 = 3 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;21) = 22 × 3 × 7 = 84.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 84 s, soit 1 min 24 s.
84 ÷ 12 = 7 et 84 ÷ 21 = 4.
Le phare A aura émis 7 éclats et le phare B 4 éclats.
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