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Felix qui potuit rerum cognoscere causas.
Heureux qui a pu connaître les causes des choses.Virgile (Sur mon T-shirt)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 509 et 62 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 99 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 452 ?
6075 256
638 792
Un maraîcher a cueilli 165 pommes et 135 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Un engrenage est composé d'une roue A de 24 dents et d'une roue B de 40 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 509 et 62 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 509 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 62 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 99 ?
On effectue la division euclidienne de 99 par 13 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 452 ?
On effectue la division euclidienne de 452 par 26 :
| 6075 | 3 | 6075 = 35 × 52 |
| 2025 | 3 | |
| 675 | 3 | |
| 225 | 3 | |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 256 | 2 | 256 = 28 |
| 128 | 2 | |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
6075 256
est irréductible.638 : { 1; 2; 11; 22; 29; 58; 319; 638 }
792 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 11; 12; 18; 22; 24; 33; 36; 44; 66; 72; 88; 99; 132; 198; 264; 396; 792 }
{ 1; 2; 11; 22 }
PGCD(638;792) = 22
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où638 792
=638:22 792:22
=29 36
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 165 pommes et 135 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
165 = 55 × 3, mais 135 = 55 × 2 + 25 : le reste n'est pas nul, 135 n'est pas divisible par 55.
On ne peut pas constituer 55 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
| 135 | 3 | 135 = 33 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 165 et 135 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 165 et 135.
165 = 3 × 5 × 11 et 135 = 33 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(165;135) = 3 × 5 = 15.
On pourra constituer au maximum 15 sacs.
165 ÷ 15 = 11 et 135 ÷ 15 = 9.
Chaque sac contiendra 11 pommes et 9 poires.
Un engrenage est composé d'une roue A de 24 dents et d'une roue B de 40 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 24 = 48 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 48 = 40 × 1 + 8 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas un multiple de 40.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 24 | 2 | 24 = 23 × 3 |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 24 et 40 : la première fois, au PPCM.
24 = 23 × 3 et 40 = 23 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(24;40) = 23 × 3 × 5 = 120.
Il passe 120 dents au point de contact, soit 120 ÷ 24 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
120 ÷ 40 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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