site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 3520 et 1053 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   3520 / 1053

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 84 et 320.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 84 et 320.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   84 / 320

Un DJ a sélectionné 150 titres de rap et 125 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.

• Toutes les playlists contiennent le même nombre de titres de rap.
• Toutes les playlists contiennent le même nombre de titres d'électro.
• Tous les titres sont utilisés.

1. Peut-on constituer 50 playlists ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 150 est 2 × 3 × 5².
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 125 ?
3. Quel nombre maximal de playlists pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque playlist ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 32 minutes et ceux de la ligne B toutes les 40 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 06. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 32 et 40 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 434 par 8 :

• 434 = 8 × 54 + 2 et 2 < 8
• 434 = 432 + 2
• donc 432 < 434 < 440 (432 + 8)

On effectue la division euclidienne de 578 par 8 :

• 578 = 8 × 72 + 2 et 2 < 8
• 578 = 576 + 2
• donc 576 < 578 < 584 (576 + 8)

1. Décompositions :
   3520 = 2⁶ × 5 × 11
   1053 = 3⁴ × 13
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(3520;1053) = 2⁶ × 3⁴ × 5 × 11 × 13 = 3706560
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(3520,1053) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3520 et 1053 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   3520 / 1053

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   84 : { 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84 }
   320 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 64; 80; 160; 320 }

2. Les diviseurs communs de 84 et 320 sont :

   { 1; 2; 4 }

3. Le plus grand diviseur commun de 84 et 320 est :

   PGCD(84;320) = 4

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   84 / 320

   =

   84:4 / 320:4

   =

   21 / 80

Un DJ a sélectionné 150 titres de rap et 125 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.

• Toutes les playlists contiennent le même nombre de titres de rap.
• Toutes les playlists contiennent le même nombre de titres d'électro.
• Tous les titres sont utilisés.

1. Peut-on constituer 50 playlists ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 150 est 2 × 3 × 5².
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 125 ?
3. Quel nombre maximal de playlists pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque playlist ?

1. Nombre de playlists :

   150 = 50 × 3, mais 125 = 50 × 2 + 25 : le reste n'est pas nul, 125 n'est pas divisible par 50.
   On ne peut pas constituer 50 playlists (tous les titres d'électro ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 150 = 2 × 3 × 5².
   Décomposition de 125 :

   125	5	125 = 53
   25	5
   5	5
   1

3. Nombre maximal de playlists :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 150 et 125 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 150 et 125.

   150 = 2 × 3 × 5² et 125 = 5³
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(150;125) = 5² = 25.
   On pourra constituer au maximum 25 playlists.

4. Composition de chaque playlist :

   150 ÷ 25 = 6 et 125 ÷ 25 = 5.
   Chaque playlist contiendra 6 titres de rap et 5 titres d'électro.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 32 minutes et ceux de la ligne B toutes les 40 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 06. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 32 et 40 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 8 h 06 :

   De 6 h 30 à 8 h 06, il s'écoule 96 min, et 96 = 3 × 32 : c'est un multiple de 32, donc un bus de la ligne A part à 8 h 06.
   96 = 40 × 2 + 16 : le reste n'est pas nul, 96 n'est pas un multiple de 40.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 06.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 32 :

   32	2	32 = 25
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 40 :

   40	2	40 = 23 × 5
   20	2
   10	2
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 32 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 40 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 32 et 40 : la première fois, au bout du PPCM.

   32 = 2⁵ et 40 = 2³ × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(32;40) = 2⁵ × 5 = 160.
   Ils repartiront ensemble 160 min après 6 h 30, soit 2 h 40 min plus tard : à 9 h 10.

4. Nombre de tours :

   160 ÷ 32 = 5 et 160 ÷ 40 = 4.
   5 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.