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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 286 et 436 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 105 ?
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 406 ?
11718 15300
4125 12544
Un maraîcher a récolté 280 salades et 200 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 176 s et un pilote amateur en 396 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 286 et 436 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 286 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 436 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 105 ?
On effectue la division euclidienne de 105 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 406 ?
On effectue la division euclidienne de 406 par 17 :
| 11718 | 2 | 11718 = 2 × 33 × 7 × 31 |
| 5859 | 3 | |
| 1953 | 3 | |
| 651 | 3 | |
| 217 | 7 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 15300 | 2 | 15300 = 22 × 32 × 52 × 17 |
| 7650 | 2 | |
| 3825 | 3 | |
| 1275 | 3 | |
| 425 | 5 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où11718 15300
=11718:18 15300:18
=651 850
4125 : { 1; 3; 5; 11; 15; 25; 33; 55; 75; 125; 165; 275; 375; 825; 1375; 4125 }
12544 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 28; 32; 49; 56; 64; 98; 112; 128; 196; 224; 256; 392; 448; 784; 896; 1568; 1792; 3136; 6272; 12544 }
{ 1 }
PGCD(4125;12544) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4125 et 12544 sont premiers entre eux.
Donc la fraction4125 12544
est irréductible.Un maraîcher a récolté 280 salades et 200 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
200 = 25 × 8, mais 280 = 25 × 11 + 5 : le reste n'est pas nul, 280 n'est pas divisible par 25.
On ne peut pas constituer 25 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).
| 280 | 2 | 280 = 23 × 5 × 7 |
| 140 | 2 | |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 200 | 2 | 200 = 23 × 52 |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 280 et 200 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 280 et 200.
280 = 23 × 5 × 7 et 200 = 23 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(280;200) = 23 × 5 = 40.
On pourra constituer au maximum 40 paniers.
280 ÷ 40 = 7 et 200 ÷ 40 = 5.
Chaque panier contiendra 7 salades et 5 bottes de carottes.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 176 s et un pilote amateur en 396 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1408 = 8 × 176 : le professionnel a fait exactement 8 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1408 = 396 × 3 + 220 : le reste n'est pas nul, 1408 n'est pas un multiple de 396.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 3 tours et 220 s.
| 176 | 2 | 176 = 24 × 11 |
| 88 | 2 | |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 396 | 2 | 396 = 22 × 32 × 11 |
| 198 | 2 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 176 s (aux multiples de 176), et l'amateur toutes les 396 s (aux multiples de 396). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 176 et 396 : la première fois, au bout du PPCM de 176 et 396.
176 = 24 × 11 et 396 = 22 × 32 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(176;396) = 24 × 32 × 11 = 1584.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1584 s, soit 26 min 24 s.
1584 ÷ 176 = 9 et 1584 ÷ 396 = 4.
Le professionnel aura fait 9 tours et l'amateur 4 tours.
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