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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 175 et 771 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 200 ?
Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur à 195 ?
1408 1404
306 475
Un DJ a sélectionné 75 titres de rap et 250 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 20 secondes, le phare B toutes les 16 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 175 et 771 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 175 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 771 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 200 ?
On effectue la division euclidienne de 200 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur à 195 ?
On effectue la division euclidienne de 195 par 12 :
| 1408 | 2 | 1408 = 27 × 11 |
| 704 | 2 | |
| 352 | 2 | |
| 176 | 2 | |
| 88 | 2 | |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 1404 | 2 | 1404 = 22 × 33 × 13 |
| 702 | 2 | |
| 351 | 3 | |
| 117 | 3 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1408 1404
=1408:4 1404:4
=352 351
306 : { 1; 2; 3; 6; 9; 17; 18; 34; 51; 102; 153; 306 }
475 : { 1; 5; 19; 25; 95; 475 }
{ 1 }
PGCD(306;475) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 306 et 475 sont premiers entre eux.
Donc la fraction306 475
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 75 titres de rap et 250 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
250 = 50 × 5, mais 75 = 50 × 1 + 25 : le reste n'est pas nul, 75 n'est pas divisible par 50.
On ne peut pas constituer 50 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 75 | 3 | 75 = 3 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 250 | 2 | 250 = 2 × 53 |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
{ 1; 5; 25 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 75 et 250 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 75 et 250.
Le plus grand des diviseurs communs est 25.
On pourra constituer au maximum 25 playlists.
75 ÷ 25 = 3 et 250 ÷ 25 = 10.
Chaque playlist contiendra 3 titres de rap et 10 titres d'électro.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 20 secondes, le phare B toutes les 16 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
60 = 3 × 20 : c'est un multiple de 20, le phare A émet donc un éclat (son 3e depuis minuit).
60 = 16 × 3 + 12 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 16.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 16 | 2 | 16 = 24 |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 20 s, le phare B aux multiples de 16 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 20 et 16 : la première fois, au bout du PPCM.
20 = 22 × 5 et 16 = 24
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;16) = 24 × 5 = 80.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 80 s, soit 1 min 20 s.
80 ÷ 20 = 4 et 80 ÷ 16 = 5.
Le phare A aura émis 4 éclats et le phare B 5 éclats.
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