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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 822 et 288 par deux multiples consécutifs de 7.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 301 ?
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 77 ?
9261 2816
14210 5589
Un maraîcher a cueilli 385 pommes et 420 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 350 s et Yanis en 400 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 822 et 288 par deux multiples consécutifs de 7.
On effectue la division euclidienne de 822 par 7 :
On effectue la division euclidienne de 288 par 7 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 301 ?
On effectue la division euclidienne de 301 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 77 ?
On effectue la division euclidienne de 77 par 5 :
| 9261 | 3 | 9261 = 33 × 73 |
| 3087 | 3 | |
| 1029 | 3 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 2816 | 2 | 2816 = 28 × 11 |
| 1408 | 2 | |
| 704 | 2 | |
| 352 | 2 | |
| 176 | 2 | |
| 88 | 2 | |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
9261 2816
est irréductible.14210 : { 1; 2; 5; 7; 10; 14; 29; 35; 49; 58; 70; 98; 145; 203; 245; 290; 406; 490; 1015; 1421; 2030; 2842; 7105; 14210 }
5589 : { 1; 3; 9; 23; 27; 69; 81; 207; 243; 621; 1863; 5589 }
{ 1 }
PGCD(14210;5589) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 14210 et 5589 sont premiers entre eux.
Donc la fraction14210 5589
est irréductible.Un maraîcher a cueilli 385 pommes et 420 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
385 = 5 × 77 et 420 = 5 × 84 : 385 et 420 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 sacs (77 pommes et 84 poires dans chaque sac).
420 = 3 × 140, mais 385 = 3 × 128 + 1 : le reste n'est pas nul, 385 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 sacs (tous les pommes ne seraient pas utilisés).
| 420 | 2 | 420 = 22 × 3 × 5 × 7 |
| 210 | 2 | |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 385 et 420 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 385 et 420.
385 = 5 × 7 × 11 et 420 = 22 × 3 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(385;420) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 sacs.
385 ÷ 35 = 11 et 420 ÷ 35 = 12.
Chaque sac contiendra 11 pommes et 12 poires.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 350 s et Yanis en 400 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
2100 = 6 × 350 : Inès a fait exactement 6 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
2100 = 400 × 5 + 100 : le reste n'est pas nul, 2100 n'est pas un multiple de 400.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 5 tours et 100 s.
| 350 | 2 | 350 = 2 × 52 × 7 |
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 400 | 2 | 400 = 24 × 52 |
| 200 | 2 | |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 350 s (aux multiples de 350), et Yanis toutes les 400 s (aux multiples de 400). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 350 et 400 : la première fois, au bout du PPCM de 350 et 400.
350 = 2 × 52 × 7 et 400 = 24 × 52
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(350;400) = 24 × 52 × 7 = 2800.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 2800 s, soit 46 min 40 s.
2800 ÷ 350 = 8 et 2800 ÷ 400 = 7.
Inès aura fait 8 tours et Yanis 7 tours.
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