site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 7533 et 896 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   7533 / 896

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 364 et 825.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 364 et 825.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   364 / 825

Pour une fête, un cuisinier a préparé 140 nems et 315 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.

• Toutes les barquettes contiennent le même nombre de nems.
• Toutes les barquettes contiennent le même nombre de samoussas.
• Tous les nems et tous les samoussas sont utilisés.

1. Peut-on constituer 10 barquettes ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 140 est 2² × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 315 ?
3. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque barquette ?

Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 296 s et un pilote amateur en 333 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 1480 s, le professionnel est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de l'amateur ?
2. Décompose 296 et 333 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 442 par 12 :

• 442 = 12 × 36 + 10 et 10 < 12
• 442 = 432 + 10
• donc 432 < 442 < 444 (432 + 12)

On effectue la division euclidienne de 530 par 12 :

• 530 = 12 × 44 + 2 et 2 < 12
• 530 = 528 + 2
• donc 528 < 530 < 540 (528 + 12)

1. Décompositions :
   7533 = 3⁵ × 31
   896 = 2⁷ × 7
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(7533;896) = 2⁷ × 3⁵ × 7 × 31 = 6749568
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(7533,896) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7533 et 896 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   7533 / 896

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   364 : { 1; 2; 4; 7; 13; 14; 26; 28; 52; 91; 182; 364 }
   825 : { 1; 3; 5; 11; 15; 25; 33; 55; 75; 165; 275; 825 }

2. Les diviseurs communs de 364 et 825 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 364 et 825 est :

   PGCD(364;825) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 364 et 825 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   364 / 825

   est irréductible.

Pour une fête, un cuisinier a préparé 140 nems et 315 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.

• Toutes les barquettes contiennent le même nombre de nems.
• Toutes les barquettes contiennent le même nombre de samoussas.
• Tous les nems et tous les samoussas sont utilisés.

1. Peut-on constituer 10 barquettes ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 140 est 2² × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 315 ?
3. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque barquette ?

1. Nombre de barquettes :

   140 = 10 × 14, mais 315 = 10 × 31 + 5 : le reste n'est pas nul, 315 n'est pas divisible par 10.
   On ne peut pas constituer 10 barquettes (tous les samoussas ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 140 = 2² × 5 × 7.
   Décomposition de 315 :

   315	3	315 = 32 × 5 × 7
   105	3
   35	5
   7	7
   1

3. Nombre maximal de barquettes :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de barquettes doit diviser à la fois 140 et 315 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de barquettes est donc le PGCD de 140 et 315.

   140 = 2² × 5 × 7 et 315 = 3² × 5 × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(140;315) = 5 × 7 = 35.
   On pourra constituer au maximum 35 barquettes.

4. Composition de chaque barquette :

   140 ÷ 35 = 4 et 315 ÷ 35 = 9.
   Chaque barquette contiendra 4 nems et 9 samoussas.

Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 296 s et un pilote amateur en 333 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 1480 s, le professionnel est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de l'amateur ?
2. Décompose 296 et 333 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 1480 s :

   1480 = 5 × 296 : le professionnel a fait exactement 5 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   1480 = 333 × 4 + 148 : le reste n'est pas nul, 1480 n'est pas un multiple de 333.
   Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 4 tours et 148 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 296 :

   296	2	296 = 23 × 37
   148	2
   74	2
   37	37
   1

   Décomposition de 333 :

   333	3	333 = 32 × 37
   111	3
   37	37
   1

3. Première rencontre :

   Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 296 s (aux multiples de 296), et l'amateur toutes les 333 s (aux multiples de 333). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 296 et 333 : la première fois, au bout du PPCM de 296 et 333.

   296 = 2³ × 37 et 333 = 3² × 37
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(296;333) = 2³ × 3² × 37 = 2664.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 2664 s, soit 44 min 24 s.

4. Nombre de tours :

   2664 ÷ 296 = 9 et 2664 ÷ 333 = 8.
   Le professionnel aura fait 9 tours et l'amateur 8 tours.