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Felix qui potuit rerum cognoscere causas.
Heureux qui a pu connaître les causes des choses.Virgile (Sur mon T-shirt)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 232 et 73 par deux multiples consécutifs de 12.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 331 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 47 ?
6370 2187
207 369
Pour une fête, un cuisinier a préparé 210 nems et 231 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 78 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 52 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 232 et 73 par deux multiples consécutifs de 12.
On effectue la division euclidienne de 232 par 12 :
On effectue la division euclidienne de 73 par 12 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 331 ?
On effectue la division euclidienne de 331 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 47 ?
On effectue la division euclidienne de 47 par 6 :
| 6370 | 2 | 6370 = 2 × 5 × 72 × 13 |
| 3185 | 5 | |
| 637 | 7 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 2187 | 3 | 2187 = 37 |
| 729 | 3 | |
| 243 | 3 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
6370 2187
est irréductible.207 : { 1; 3; 9; 23; 69; 207 }
369 : { 1; 3; 9; 41; 123; 369 }
{ 1; 3; 9 }
PGCD(207;369) = 9
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où207 369
=207:9 369:9
=23 41
Pour une fête, un cuisinier a préparé 210 nems et 231 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.
210 = 7 × 30 et 231 = 7 × 33 : 210 et 231 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 barquettes (30 nems et 33 samoussas dans chaque barquette).
231 = 11 × 21, mais 210 = 11 × 19 + 1 : le reste n'est pas nul, 210 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 barquettes (tous les nems ne seraient pas utilisés).
| 210 | 2 | 210 = 2 × 3 × 5 × 7 |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 231 | 3 | 231 = 3 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de barquettes doit diviser à la fois 210 et 231 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de barquettes est donc le PGCD de 210 et 231.
210 = 2 × 3 × 5 × 7 et 231 = 3 × 7 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(210;231) = 3 × 7 = 21.
On pourra constituer au maximum 21 barquettes.
210 ÷ 21 = 10 et 231 ÷ 21 = 11.
Chaque barquette contiendra 10 nems et 11 samoussas.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 78 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 52 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
78 = 1 × 78 : Camille a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
78 = 52 × 1 + 26 : le reste n'est pas nul, 78 n'est pas un multiple de 52.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 1 tour et 26 s.
| 78 | 2 | 78 = 2 × 3 × 13 |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 52 | 2 | 52 = 22 × 13 |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 78 s (aux multiples de 78), et Dominique toutes les 52 s (aux multiples de 52). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 78 et 52 : la première fois, au bout du PPCM de 78 et 52.
78 = 2 × 3 × 13 et 52 = 22 × 13
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(78;52) = 22 × 3 × 13 = 156.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 156 s, soit 2 min 36 s.
156 ÷ 78 = 2 et 156 ÷ 52 = 3.
Camille aura fait 2 tours et Dominique 3 tours.
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