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Il ne faut jamais juger les gens sur leurs fréquentations : Judas, par exemple, avait des amis irréprochables.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 72 et 446 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 550 ?
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 371 ?
11160 6561
11600 11907
Un collectionneur de coquillages possède 320 cônes et 280 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 15 secondes, le phare B toutes les 9 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 72 et 446 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 72 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 446 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 550 ?
On effectue la division euclidienne de 550 par 23 :
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 371 ?
On effectue la division euclidienne de 371 par 22 :
| 11160 | 2 | 11160 = 23 × 32 × 5 × 31 |
| 5580 | 2 | |
| 2790 | 2 | |
| 1395 | 3 | |
| 465 | 3 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 6561 | 3 | 6561 = 38 |
| 2187 | 3 | |
| 729 | 3 | |
| 243 | 3 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où11160 6561
=11160:9 6561:9
=1240 729
11600 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 25; 29; 40; 50; 58; 80; 100; 116; 145; 200; 232; 290; 400; 464; 580; 725; 1160; 1450; 2320; 2900; 5800; 11600 }
11907 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 49; 63; 81; 147; 189; 243; 441; 567; 1323; 1701; 3969; 11907 }
{ 1 }
PGCD(11600;11907) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 11600 et 11907 sont premiers entre eux.
Donc la fraction11600 11907
est irréductible.Un collectionneur de coquillages possède 320 cônes et 280 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
280 = 28 × 10, mais 320 = 28 × 11 + 12 : le reste n'est pas nul, 320 n'est pas divisible par 28.
On ne peut pas constituer 28 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).
320 = 5 × 64 et 280 = 5 × 56 : 320 et 280 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 lots (64 cônes et 56 porcelaines dans chaque lot).
| 280 | 2 | 280 = 23 × 5 × 7 |
| 140 | 2 | |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 320 et 280 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 320 et 280.
320 = 26 × 5 et 280 = 23 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(320;280) = 23 × 5 = 40.
On pourra constituer au maximum 40 lots.
320 ÷ 40 = 8 et 280 ÷ 40 = 7.
Chaque lot contiendra 8 cônes et 7 porcelaines.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 15 secondes, le phare B toutes les 9 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
30 = 2 × 15 : c'est un multiple de 15, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
30 = 9 × 3 + 3 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 9.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 9 | 3 | 9 = 32 |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 15 s, le phare B aux multiples de 9 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 15 et 9 : la première fois, au bout du PPCM.
15 = 3 × 5 et 9 = 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(15;9) = 32 × 5 = 45.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 45 s.
45 ÷ 15 = 3 et 45 ÷ 9 = 5.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 5 éclats.
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