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La faculté de citer est un substitut commode à l'intelligence.
Somerset Maugham
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 251 et 385 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 342 ?
Quel est le plus petit multiple de 13 supérieur à 135 ?
9856 2898
15625 608
Une médiathèque se sépare de 42 DVD pour enfants et de 54 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 18 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 251 et 385 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 251 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 385 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 342 ?
On effectue la division euclidienne de 342 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 13 supérieur à 135 ?
On effectue la division euclidienne de 135 par 13 :
| 9856 | 2 | 9856 = 27 × 7 × 11 |
| 4928 | 2 | |
| 2464 | 2 | |
| 1232 | 2 | |
| 616 | 2 | |
| 308 | 2 | |
| 154 | 2 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 2898 | 2 | 2898 = 2 × 32 × 7 × 23 |
| 1449 | 3 | |
| 483 | 3 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où9856 2898
=9856:14 2898:14
=704 207
15625 : { 1; 5; 25; 125; 625; 3125; 15625 }
608 : { 1; 2; 4; 8; 16; 19; 32; 38; 76; 152; 304; 608 }
{ 1 }
PGCD(15625;608) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 15625 et 608 sont premiers entre eux.
Donc la fraction15625 608
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une médiathèque se sépare de 42 DVD pour enfants et de 54 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
42 = 14 × 3, mais 54 = 14 × 3 + 12 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas divisible par 14.
On ne peut pas constituer 14 lots (tous les DVD de documentaires ne seraient pas utilisés).
42 = 3 × 14 et 54 = 3 × 18 : 42 et 54 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 lots (14 DVD pour enfants et 18 DVD de documentaires dans chaque lot).
| 42 | 2 | 42 = 2 × 3 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 54 | 2 | 54 = 2 × 33 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 42 et 54 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 42 et 54.
42 = 2 × 3 × 7 et 54 = 2 × 33
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(42;54) = 2 × 3 = 6.
On pourra constituer au maximum 6 lots.
42 ÷ 6 = 7 et 54 ÷ 6 = 9.
Chaque lot contiendra 7 DVD pour enfants et 9 DVD de documentaires.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 18 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
24 = 2 × 12 : c'est un multiple de 12, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
24 = 18 × 1 + 6 : le reste n'est pas nul, 24 n'est pas un multiple de 18.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 12 s, le phare B aux multiples de 18 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 12 et 18 : la première fois, au bout du PPCM.
12 = 22 × 3 et 18 = 2 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;18) = 22 × 32 = 36.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 36 s.
36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 2 éclats.
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