site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 1216 et 4725 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   1216 / 4725

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 833 et 575.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 833 et 575.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   833 / 575

Une fleuriste a reçu 156 roses et 130 tulipes. Elle veut composer des bouquets.

• Tous les bouquets contiennent le même nombre de roses.
• Tous les bouquets contiennent le même nombre de tulipes.
• Toutes les fleurs sont utilisées.

1. Peut-on constituer 5 bouquets ?
2. Décompose 156 et 130 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de bouquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 24 minutes et ceux de la ligne B toutes les 18 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 03. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 24 et 18 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 15) ?

On effectue la division euclidienne de 836 par 13 :

• 836 = 13 × 64 + 4 et 4 < 13
• 836 = 832 + 4
• donc 832 < 836 < 845 (832 + 13)

On effectue la division euclidienne de 583 par 13 :

• 583 = 13 × 44 + 11 et 11 < 13
• 583 = 572 + 11
• donc 572 < 583 < 585 (572 + 13)

1. Décompositions :
   1216 = 2⁶ × 19
   4725 = 3³ × 5² × 7
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(1216;4725) = 2⁶ × 3³ × 5² × 7 × 19 = 5745600
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(1216,4725) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1216 et 4725 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   1216 / 4725

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   833 : { 1; 7; 17; 49; 119; 833 }
   575 : { 1; 5; 23; 25; 115; 575 }

2. Les diviseurs communs de 833 et 575 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 833 et 575 est :

   PGCD(833;575) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 833 et 575 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   833 / 575

   est irréductible.

Une fleuriste a reçu 156 roses et 130 tulipes. Elle veut composer des bouquets.

• Tous les bouquets contiennent le même nombre de roses.
• Tous les bouquets contiennent le même nombre de tulipes.
• Toutes les fleurs sont utilisées.

1. Peut-on constituer 5 bouquets ?
2. Décompose 156 et 130 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de bouquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?

1. Nombre de bouquets :

   130 = 5 × 26, mais 156 = 5 × 31 + 1 : le reste n'est pas nul, 156 n'est pas divisible par 5.
   On ne peut pas constituer 5 bouquets (tous les roses ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 156 :

   156	2	156 = 22 × 3 × 13
   78	2
   39	3
   13	13
   1

   Décomposition de 130 :

   130	2	130 = 2 × 5 × 13
   65	5
   13	13
   1

3. Nombre maximal de bouquets :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 156 et 130 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 156 et 130.

   156 = 2² × 3 × 13 et 130 = 2 × 5 × 13
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(156;130) = 2 × 13 = 26.
   On pourra constituer au maximum 26 bouquets.

4. Composition de chaque bouquet :

   156 ÷ 26 = 6 et 130 ÷ 26 = 5.
   Chaque bouquet contiendra 6 roses et 5 tulipes.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 24 minutes et ceux de la ligne B toutes les 18 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 03. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 24 et 18 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 15) ?

1. À 8 h 03 :

   De 7 h 15 à 8 h 03, il s'écoule 48 min, et 48 = 2 × 24 : c'est un multiple de 24, donc un bus de la ligne A part à 8 h 03.
   48 = 18 × 2 + 12 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas un multiple de 18.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 03.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 24 :

   24	2	24 = 23 × 3
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 18 :

   18	2	18 = 2 × 32
   9	3
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 24 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 18 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 24 et 18 : la première fois, au bout du PPCM.

   24 = 2³ × 3 et 18 = 2 × 3²
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(24;18) = 2³ × 3² = 72.
   Ils repartiront ensemble 72 min après 7 h 15, soit 1 h 12 min plus tard : à 8 h 27.

4. Nombre de tours :

   72 ÷ 24 = 3 et 72 ÷ 18 = 4.
   3 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.