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La mort semble bien moins terrible, quand on est fatigué.
Simone de Beauvoir
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Encadre 171 et 948 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 385 ?
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 69 ?
4788 1600
6656 12005
Un maraîcher a cueilli 198 pommes et 180 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 76 s et Hugo en 57 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 171 et 948 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 171 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 948 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 385 ?
On effectue la division euclidienne de 385 par 22 :
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 69 ?
On effectue la division euclidienne de 69 par 9 :
| 4788 | 2 | 4788 = 22 × 32 × 7 × 19 |
| 2394 | 2 | |
| 1197 | 3 | |
| 399 | 3 | |
| 133 | 7 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 1600 | 2 | 1600 = 26 × 52 |
| 800 | 2 | |
| 400 | 2 | |
| 200 | 2 | |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4788 1600
=4788:4 1600:4
=1197 400
6656 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 32; 52; 64; 104; 128; 208; 256; 416; 512; 832; 1664; 3328; 6656 }
12005 : { 1; 5; 7; 35; 49; 245; 343; 1715; 2401; 12005 }
{ 1 }
PGCD(6656;12005) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6656 et 12005 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6656 12005
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 198 pommes et 180 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
198 = 33 × 6, mais 180 = 33 × 5 + 15 : le reste n'est pas nul, 180 n'est pas divisible par 33.
On ne peut pas constituer 33 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
| 198 | 2 | 198 = 2 × 32 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 198 et 180 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 198 et 180.
198 = 2 × 32 × 11 et 180 = 22 × 32 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(198;180) = 2 × 32 = 18.
On pourra constituer au maximum 18 sacs.
198 ÷ 18 = 11 et 180 ÷ 18 = 10.
Chaque sac contiendra 11 pommes et 10 poires.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 76 s et Hugo en 57 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
152 = 2 × 76 : Léa a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
152 = 57 × 2 + 38 : le reste n'est pas nul, 152 n'est pas un multiple de 57.
Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 2 tours et 38 s.
| 76 | 2 | 76 = 22 × 19 |
| 38 | 2 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 57 | 3 | 57 = 3 × 19 |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Léa passe sur la ligne de départ toutes les 76 s (aux multiples de 76), et Hugo toutes les 57 s (aux multiples de 57). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 76 et 57 : la première fois, au bout du PPCM de 76 et 57.
76 = 22 × 19 et 57 = 3 × 19
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(76;57) = 22 × 3 × 19 = 228.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 228 s, soit 3 min 48 s.
228 ÷ 76 = 3 et 228 ÷ 57 = 4.
Léa aura fait 3 tours et Hugo 4 tours.
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