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Le vrai et le faux sont des attributs du langage, non des choses. Et là où il n'y a pas de langage, il n'y a ni vérité, ni fausseté.
Thomas Hobbes
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 442 et 929 par deux multiples consécutifs de 7.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 244 ?
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 261 ?
4851 392
15525 1216
Une artisane dispose de 96 perles rouges et de 64 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 48 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 442 et 929 par deux multiples consécutifs de 7.
On effectue la division euclidienne de 442 par 7 :
On effectue la division euclidienne de 929 par 7 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 244 ?
On effectue la division euclidienne de 244 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 261 ?
On effectue la division euclidienne de 261 par 16 :
| 4851 | 3 | 4851 = 32 × 72 × 11 |
| 1617 | 3 | |
| 539 | 7 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 392 | 2 | 392 = 23 × 72 |
| 196 | 2 | |
| 98 | 2 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4851 392
=4851:49 392:49
=99 8
15525 : { 1; 3; 5; 9; 15; 23; 25; 27; 45; 69; 75; 115; 135; 207; 225; 345; 575; 621; 675; 1035; 1725; 3105; 5175; 15525 }
1216 : { 1; 2; 4; 8; 16; 19; 32; 38; 64; 76; 152; 304; 608; 1216 }
{ 1 }
PGCD(15525;1216) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 15525 et 1216 sont premiers entre eux.
Donc la fraction15525 1216
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une artisane dispose de 96 perles rouges et de 64 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
96 = 3 × 32, mais 64 = 3 × 21 + 1 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 colliers (tous les perles blanches ne seraient pas utilisés).
| 96 | 2 | 96 = 25 × 3 |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 64 | 2 | 64 = 26 |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 96 et 64 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 96 et 64.
96 = 25 × 3 et 64 = 26
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(96;64) = 25 = 32.
On pourra constituer au maximum 32 colliers.
96 ÷ 32 = 3 et 64 ÷ 32 = 2.
Chaque collier contiendra 3 perles rouges et 2 perles blanches.
Un engrenage est composé d'une roue A de 48 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 48 = 96 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 96 = 36 × 2 + 24 : le reste n'est pas nul, 96 n'est pas un multiple de 36.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 48 et 36 : la première fois, au PPCM.
48 = 24 × 3 et 36 = 22 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(48;36) = 24 × 32 = 144.
Il passe 144 dents au point de contact, soit 144 ÷ 48 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
144 ÷ 36 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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