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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 831 et 426 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 92 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 424 ?
1288 6800
9315 8512
Un DJ a sélectionné 140 titres de rap et 105 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Un engrenage est composé d'une roue A de 44 dents et d'une roue B de 55 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 831 et 426 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 831 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 426 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 92 ?
On effectue la division euclidienne de 92 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 424 ?
On effectue la division euclidienne de 424 par 27 :
| 1288 | 2 | 1288 = 23 × 7 × 23 |
| 644 | 2 | |
| 322 | 2 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 6800 | 2 | 6800 = 24 × 52 × 17 |
| 3400 | 2 | |
| 1700 | 2 | |
| 850 | 2 | |
| 425 | 5 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1288 6800
=1288:8 6800:8
=161 850
9315 : { 1; 3; 5; 9; 15; 23; 27; 45; 69; 81; 115; 135; 207; 345; 405; 621; 1035; 1863; 3105; 9315 }
8512 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 19; 28; 32; 38; 56; 64; 76; 112; 133; 152; 224; 266; 304; 448; 532; 608; 1064; 1216; 2128; 4256; 8512 }
{ 1 }
PGCD(9315;8512) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 9315 et 8512 sont premiers entre eux.
Donc la fraction9315 8512
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 140 titres de rap et 105 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
140 = 4 × 35, mais 105 = 4 × 26 + 1 : le reste n'est pas nul, 105 n'est pas divisible par 4.
On ne peut pas constituer 4 playlists (tous les titres d'électro ne seraient pas utilisés).
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 5; 7; 35 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 140 et 105 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 140 et 105.
Le plus grand des diviseurs communs est 35.
On pourra constituer au maximum 35 playlists.
140 ÷ 35 = 4 et 105 ÷ 35 = 3.
Chaque playlist contiendra 4 titres de rap et 3 titres d'électro.
Un engrenage est composé d'une roue A de 44 dents et d'une roue B de 55 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 44 = 132 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 132 = 55 × 2 + 22 : le reste n'est pas nul, 132 n'est pas un multiple de 55.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 44 | 2 | 44 = 22 × 11 |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 55 | 5 | 55 = 5 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 44 et 55 : la première fois, au PPCM.
44 = 22 × 11 et 55 = 5 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(44;55) = 22 × 5 × 11 = 220.
Il passe 220 dents au point de contact, soit 220 ÷ 44 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
220 ÷ 55 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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