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« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 7728 et 14688 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   7728 / 14688

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 833 et 44.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 833 et 44.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   833 / 44

Un maraîcher a récolté 273 salades et 312 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 7 paniers ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 273 est 3 × 7 × 13.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 312 ?
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 36 minutes et ceux de la ligne B toutes les 27 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 42. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 36 et 27 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 314 par 13 :

• 314 = 13 × 24 + 2 et 2 < 13
• 314 = 312 + 2
• donc 312 < 314 < 325 (312 + 13)

On effectue la division euclidienne de 983 par 13 :

• 983 = 13 × 75 + 8 et 8 < 13
• 983 = 975 + 8
• donc 975 < 983 < 988 (975 + 13)

1. Décompositions :
   7728 = 2⁴ × 3 × 7 × 23
   14688 = 2⁵ × 3³ × 17
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(7728;14688) = 2⁵ × 3³ × 7 × 17 × 23 = 2364768
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(7728;14688) = 2⁴ × 3 = 48
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   7728 / 14688

   =

   7728:48 / 14688:48

   =

   161 / 306

1. Les diviseurs :

   833 : { 1; 7; 17; 49; 119; 833 }
   44 : { 1; 2; 4; 11; 22; 44 }

2. Les diviseurs communs de 833 et 44 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 833 et 44 est :

   PGCD(833;44) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 833 et 44 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   833 / 44

   est irréductible.

Un maraîcher a récolté 273 salades et 312 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 7 paniers ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 273 est 3 × 7 × 13.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 312 ?
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

1. Nombre de paniers :

   273 = 7 × 39, mais 312 = 7 × 44 + 4 : le reste n'est pas nul, 312 n'est pas divisible par 7.
   On ne peut pas constituer 7 paniers (tous les bottes de carottes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 273 = 3 × 7 × 13.
   Décomposition de 312 :

   312	2	312 = 23 × 3 × 13
   156	2
   78	2
   39	3
   13	13
   1

3. Nombre maximal de paniers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 273 et 312 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 273 et 312.

   273 = 3 × 7 × 13 et 312 = 2³ × 3 × 13
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(273;312) = 3 × 13 = 39.
   On pourra constituer au maximum 39 paniers.

4. Composition de chaque panier :

   273 ÷ 39 = 7 et 312 ÷ 39 = 8.
   Chaque panier contiendra 7 salades et 8 bottes de carottes.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 36 minutes et ceux de la ligne B toutes les 27 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 42. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 36 et 27 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 7 h 42 :

   De 6 h 30 à 7 h 42, il s'écoule 72 min, et 72 = 2 × 36 : c'est un multiple de 36, donc un bus de la ligne A part à 7 h 42.
   72 = 27 × 2 + 18 : le reste n'est pas nul, 72 n'est pas un multiple de 27.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 42.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 36 :

   36	2	36 = 22 × 32
   18	2
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 27 :

   27	3	27 = 33
   9	3
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 36 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 27 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 36 et 27 : la première fois, au bout du PPCM.

   36 = 2² × 3² et 27 = 3³
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(36;27) = 2² × 3³ = 108.
   Ils repartiront ensemble 108 min après 6 h 30, soit 1 h 48 min plus tard : à 8 h 18.

4. Nombre de tours :

   108 ÷ 36 = 3 et 108 ÷ 27 = 4.
   3 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.