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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 558 et 923 par deux multiples consécutifs de 8.
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 187 ?
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 78 ?
5760 6200
6561 12250
Une médiathèque se sépare de 125 DVD pour enfants et de 200 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 120 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 140 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 558 et 923 par deux multiples consécutifs de 8.
On effectue la division euclidienne de 558 par 8 :
On effectue la division euclidienne de 923 par 8 :
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 187 ?
On effectue la division euclidienne de 187 par 23 :
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 78 ?
On effectue la division euclidienne de 78 par 7 :
| 5760 | 2 | 5760 = 27 × 32 × 5 |
| 2880 | 2 | |
| 1440 | 2 | |
| 720 | 2 | |
| 360 | 2 | |
| 180 | 2 | |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 6200 | 2 | 6200 = 23 × 52 × 31 |
| 3100 | 2 | |
| 1550 | 2 | |
| 775 | 5 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5760 6200
=5760:40 6200:40
=144 155
6561 : { 1; 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2187; 6561 }
12250 : { 1; 2; 5; 7; 10; 14; 25; 35; 49; 50; 70; 98; 125; 175; 245; 250; 350; 490; 875; 1225; 1750; 2450; 6125; 12250 }
{ 1 }
PGCD(6561;12250) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6561 et 12250 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6561 12250
est irréductible.Une médiathèque se sépare de 125 DVD pour enfants et de 200 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
200 = 50 × 4, mais 125 = 50 × 2 + 25 : le reste n'est pas nul, 125 n'est pas divisible par 50.
On ne peut pas constituer 50 lots (tous les DVD pour enfants ne seraient pas utilisés).
| 125 | 5 | 125 = 53 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 200 | 2 | 200 = 23 × 52 |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 125 et 200 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 125 et 200.
125 = 53 et 200 = 23 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(125;200) = 52 = 25.
On pourra constituer au maximum 25 lots.
125 ÷ 25 = 5 et 200 ÷ 25 = 8.
Chaque lot contiendra 5 DVD pour enfants et 8 DVD de documentaires.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 120 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 140 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
360 = 3 × 120 : Camille a fait exactement 3 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
360 = 140 × 2 + 80 : le reste n'est pas nul, 360 n'est pas un multiple de 140.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 2 tours et 80 s.
| 120 | 2 | 120 = 23 × 3 × 5 |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 120 s (aux multiples de 120), et Dominique toutes les 140 s (aux multiples de 140). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 120 et 140 : la première fois, au bout du PPCM de 120 et 140.
120 = 23 × 3 × 5 et 140 = 22 × 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(120;140) = 23 × 3 × 5 × 7 = 840.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 840 s, soit 14 min.
840 ÷ 120 = 7 et 840 ÷ 140 = 6.
Camille aura fait 7 tours et Dominique 6 tours.
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