site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 2464 et 9375 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   2464 / 9375

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 50 et 867.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 50 et 867.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   50 / 867

Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 182 cartes de type « feu » et 78 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.

• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « feu ».
• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « terre ».
• Toutes les cartes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 2 paquets ? Et Peut-on constituer 7 paquets ?
2. Décompose 182 et 78 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 18 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 18 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 18 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 292 par 13 :

• 292 = 13 × 22 + 6 et 6 < 13
• 292 = 286 + 6
• donc 286 < 292 < 299 (286 + 13)

On effectue la division euclidienne de 236 par 13 :

• 236 = 13 × 18 + 2 et 2 < 13
• 236 = 234 + 2
• donc 234 < 236 < 247 (234 + 13)

1. Décompositions :
   2464 = 2⁵ × 7 × 11
   9375 = 3 × 5⁵
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(2464;9375) = 2⁵ × 3 × 5⁵ × 7 × 11 = 23100000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(2464,9375) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2464 et 9375 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   2464 / 9375

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   50 : { 1; 2; 5; 10; 25; 50 }
   867 : { 1; 3; 17; 51; 289; 867 }

2. Les diviseurs communs de 50 et 867 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 50 et 867 est :

   PGCD(50;867) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 50 et 867 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   50 / 867

   est irréductible.

Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 182 cartes de type « feu » et 78 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.

• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « feu ».
• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « terre ».
• Toutes les cartes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 2 paquets ? Et Peut-on constituer 7 paquets ?
2. Décompose 182 et 78 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

1. Nombre de paquets :

   182 = 2 × 91 et 78 = 2 × 39 : 182 et 78 sont tous les deux divisibles par 2.
   On peut constituer 2 paquets (91 cartes « feu » et 39 cartes « terre » dans chaque paquet).

   182 = 7 × 26, mais 78 = 7 × 11 + 1 : le reste n'est pas nul, 78 n'est pas divisible par 7.
   On ne peut pas constituer 7 paquets (tous les cartes « terre » ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 182 :

   182	2	182 = 2 × 7 × 13
   91	7
   13	13
   1

   Décomposition de 78 :

   78	2	78 = 2 × 3 × 13
   39	3
   13	13
   1

3. Nombre maximal de paquets :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paquets doit diviser à la fois 182 et 78 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paquets est donc le PGCD de 182 et 78.

   182 = 2 × 7 × 13 et 78 = 2 × 3 × 13
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(182;78) = 2 × 13 = 26.
   On pourra constituer au maximum 26 paquets.

4. Composition de chaque paquet :

   182 ÷ 26 = 7 et 78 ÷ 26 = 3.
   Chaque paquet contiendra 7 cartes « feu » et 3 cartes « terre ».

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 18 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 18 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 18 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 18 s :

   18 = 1 × 18 : c'est un multiple de 18, le phare A émet donc un éclat (son 1^e depuis minuit).
   18 = 12 × 1 + 6 : le reste n'est pas nul, 18 n'est pas un multiple de 12.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 18 :

   18	2	18 = 2 × 32
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 12 :

   12	2	12 = 22 × 3
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 18 s, le phare B aux multiples de 12 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 18 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.

   18 = 2 × 3² et 12 = 2² × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(18;12) = 2² × 3² = 36.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 36 s.

4. Nombre de tours :

   36 ÷ 18 = 2 et 36 ÷ 12 = 3.
   Le phare A aura émis 2 éclats et le phare B 3 éclats.