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Je connais mes limites. C'est pourquoi je vais au-delà.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 313 et 448 par deux multiples consécutifs de 6.
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 485 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 380 ?
2700 6300
6561 3250
Un aquaculteur élève 110 petits bénitiers et 50 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 45 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 313 et 448 par deux multiples consécutifs de 6.
On effectue la division euclidienne de 313 par 6 :
On effectue la division euclidienne de 448 par 6 :
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 485 ?
On effectue la division euclidienne de 485 par 23 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 380 ?
On effectue la division euclidienne de 380 par 27 :
| 2700 | 2 | 2700 = 22 × 33 × 52 |
| 1350 | 2 | |
| 675 | 3 | |
| 225 | 3 | |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 6300 | 2 | 6300 = 22 × 32 × 52 × 7 |
| 3150 | 2 | |
| 1575 | 3 | |
| 525 | 3 | |
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2700 6300
=2700:900 6300:900
=3 7
6561 : { 1; 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2187; 6561 }
3250 : { 1; 2; 5; 10; 13; 25; 26; 50; 65; 125; 130; 250; 325; 650; 1625; 3250 }
{ 1 }
PGCD(6561;3250) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6561 et 3250 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6561 3250
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 110 petits bénitiers et 50 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
50 = 50 × 1, mais 110 = 50 × 2 + 10 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas divisible par 50.
On ne peut pas constituer 50 lots (tous les petits bénitiers ne seraient pas utilisés).
| 110 | 2 | 110 = 2 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 50 | 2 | 50 = 2 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 110 et 50 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 110 et 50.
110 = 2 × 5 × 11 et 50 = 2 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(110;50) = 2 × 5 = 10.
On pourra constituer au maximum 10 lots.
110 ÷ 10 = 11 et 50 ÷ 10 = 5.
Chaque lot contiendra 11 petits bénitiers et 5 grands bénitiers.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 45 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.
De 7 h 00 à 7 h 36, il s'écoule 36 min, et 36 = 2 × 18 :
c'est un multiple de 18, donc un bus de la ligne A part à 7 h 36.
36 = 45 × 0 + 36 : le reste n'est pas nul, 36 n'est pas un multiple de 45.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 36.
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 18 min après 7 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 45 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 18 et 45 : la première fois, au bout du PPCM.
18 = 2 × 32 et 45 = 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(18;45) = 2 × 32 × 5 = 90.
Ils repartiront ensemble 90 min après 7 h 00, soit 1 h 30 min plus tard : à 8 h 30.
90 ÷ 18 = 5 et 90 ÷ 45 = 2.
5 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.
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