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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 904 et 671 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 148 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 63 ?
2380 13104
1875 952
À la fin d'une collecte, une association a récolté 117 tee-shirts et 78 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Un engrenage est composé d'une roue A de 40 dents et d'une roue B de 48 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 904 et 671 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 904 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 671 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 148 ?
On effectue la division euclidienne de 148 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 63 ?
On effectue la division euclidienne de 63 par 6 :
| 2380 | 2 | 2380 = 22 × 5 × 7 × 17 |
| 1190 | 2 | |
| 595 | 5 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 13104 | 2 | 13104 = 24 × 32 × 7 × 13 |
| 6552 | 2 | |
| 3276 | 2 | |
| 1638 | 2 | |
| 819 | 3 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2380 13104
=2380:28 13104:28
=85 468
1875 : { 1; 3; 5; 15; 25; 75; 125; 375; 625; 1875 }
952 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 17; 28; 34; 56; 68; 119; 136; 238; 476; 952 }
{ 1 }
PGCD(1875;952) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1875 et 952 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1875 952
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 117 tee-shirts et 78 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
117 = 9 × 13, mais 78 = 9 × 8 + 6 : le reste n'est pas nul, 78 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
| 117 | 3 | 117 = 32 × 13 |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 78 | 2 | 78 = 2 × 3 × 13 |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
{ 1; 3; 13; 39 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 117 et 78 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 117 et 78.
Le plus grand des diviseurs communs est 39.
On pourra constituer au maximum 39 lots.
117 ÷ 39 = 3 et 78 ÷ 39 = 2.
Chaque lot contiendra 3 tee-shirts et 2 pantalons.
Un engrenage est composé d'une roue A de 40 dents et d'une roue B de 48 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 40 = 80 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 80 = 48 × 1 + 32 : le reste n'est pas nul, 80 n'est pas un multiple de 48.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 40 et 48 : la première fois, au PPCM.
40 = 23 × 5 et 48 = 24 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(40;48) = 24 × 3 × 5 = 240.
Il passe 240 dents au point de contact, soit 240 ÷ 40 = 6 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 6 tours de la roue A.
240 ÷ 48 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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