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Mieux vaut être dévoré par les remords dans la forêt de Forbach qu'être dévoré par les morbacs dans la forêt de Francfort
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 815 et 263 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 542 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 99 ?
12348 6552
1053 4400
La présidente d'un club de sport a acheté 280 autocollants et 175 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 35 secondes, le phare B toutes les 21 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 815 et 263 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 815 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 263 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 542 ?
On effectue la division euclidienne de 542 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 99 ?
On effectue la division euclidienne de 99 par 6 :
| 12348 | 2 | 12348 = 22 × 32 × 73 |
| 6174 | 2 | |
| 3087 | 3 | |
| 1029 | 3 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 6552 | 2 | 6552 = 23 × 32 × 7 × 13 |
| 3276 | 2 | |
| 1638 | 2 | |
| 819 | 3 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où12348 6552
=12348:252 6552:252
=49 26
1053 : { 1; 3; 9; 13; 27; 39; 81; 117; 351; 1053 }
4400 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 11; 16; 20; 22; 25; 40; 44; 50; 55; 80; 88; 100; 110; 176; 200; 220; 275; 400; 440; 550; 880; 1100; 2200; 4400 }
{ 1 }
PGCD(1053;4400) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1053 et 4400 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1053 4400
est irréductible.La présidente d'un club de sport a acheté 280 autocollants et 175 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
280 = 7 × 40 et 175 = 7 × 25 : 280 et 175 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sachets (40 autocollants et 25 drapeaux dans chaque sachet).
280 = 28 × 10, mais 175 = 28 × 6 + 7 : le reste n'est pas nul, 175 n'est pas divisible par 28.
On ne peut pas constituer 28 sachets (tous les drapeaux ne seraient pas utilisés).
| 175 | 5 | 175 = 52 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 280 et 175 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 280 et 175.
280 = 23 × 5 × 7 et 175 = 52 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(280;175) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 sachets.
280 ÷ 35 = 8 et 175 ÷ 35 = 5.
Chaque sachet contiendra 8 autocollants et 5 drapeaux.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 35 secondes, le phare B toutes les 21 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
70 = 2 × 35 : c'est un multiple de 35, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
70 = 21 × 3 + 7 : le reste n'est pas nul, 70 n'est pas un multiple de 21.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 35 | 5 | 35 = 5 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 35 s, le phare B aux multiples de 21 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 35 et 21 : la première fois, au bout du PPCM.
35 = 5 × 7 et 21 = 3 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(35;21) = 3 × 5 × 7 = 105.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 105 s, soit 1 min 45 s.
105 ÷ 35 = 3 et 105 ÷ 21 = 5.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 5 éclats.
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