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Ce n'est pas pour s'amuser qu'il joue aux échecs : il célèbre un culte.
Vladimir Nabokov
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 551 et 417 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 228 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 41 ?
1380 1240
2560 2349
Une fleuriste a reçu 150 roses et 60 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 324 s et un pilote amateur en 252 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 551 et 417 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 551 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 417 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 228 ?
On effectue la division euclidienne de 228 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 41 ?
On effectue la division euclidienne de 41 par 3 :
| 1380 | 2 | 1380 = 22 × 3 × 5 × 23 |
| 690 | 2 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 1240 | 2 | 1240 = 23 × 5 × 31 |
| 620 | 2 | |
| 310 | 2 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1380 1240
=1380:20 1240:20
=69 62
2560 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 64; 80; 128; 160; 256; 320; 512; 640; 1280; 2560 }
2349 : { 1; 3; 9; 27; 29; 81; 87; 261; 783; 2349 }
{ 1 }
PGCD(2560;2349) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2560 et 2349 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2560 2349
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une fleuriste a reçu 150 roses et 60 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
150 = 25 × 6, mais 60 = 25 × 2 + 10 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas divisible par 25.
On ne peut pas constituer 25 bouquets (tous les tulipes ne seraient pas utilisés).
| 150 | 2 | 150 = 2 × 3 × 52 |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 60 | 2 | 60 = 22 × 3 × 5 |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 150 et 60 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 150 et 60.
150 = 2 × 3 × 52 et 60 = 22 × 3 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(150;60) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 bouquets.
150 ÷ 30 = 5 et 60 ÷ 30 = 2.
Chaque bouquet contiendra 5 roses et 2 tulipes.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 324 s et un pilote amateur en 252 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1296 = 4 × 324 : le professionnel a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1296 = 252 × 5 + 36 : le reste n'est pas nul, 1296 n'est pas un multiple de 252.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 5 tours et 36 s.
| 324 | 2 | 324 = 22 × 34 |
| 162 | 2 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 252 | 2 | 252 = 22 × 32 × 7 |
| 126 | 2 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 324 s (aux multiples de 324), et l'amateur toutes les 252 s (aux multiples de 252). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 324 et 252 : la première fois, au bout du PPCM de 324 et 252.
324 = 22 × 34 et 252 = 22 × 32 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(324;252) = 22 × 34 × 7 = 2268.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 2268 s, soit 37 min 48 s.
2268 ÷ 324 = 7 et 2268 ÷ 252 = 9.
Le professionnel aura fait 7 tours et l'amateur 9 tours.
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