site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 7125 et 1472 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   7125 / 1472

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 987 et 680.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 987 et 680.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   987 / 680

Un maraîcher a récolté 315 salades et 280 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 9 paniers ? Et Peut-on constituer 5 paniers ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 315 est 3² × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 280 ?
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 35 secondes, le phare B toutes les 14 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 35 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 35 et 14 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 118 par 19 :

• 118 = 19 × 6 + 4 et 4 < 19
• 118 = 114 + 4
• donc 114 < 118 < 133 (114 + 19)

On effectue la division euclidienne de 830 par 19 :

• 830 = 19 × 43 + 13 et 13 < 19
• 830 = 817 + 13
• donc 817 < 830 < 836 (817 + 19)

1. Décompositions :
   7125 = 3 × 5³ × 19
   1472 = 2⁶ × 23
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(7125;1472) = 2⁶ × 3 × 5³ × 19 × 23 = 10488000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(7125,1472) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7125 et 1472 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   7125 / 1472

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   987 : { 1; 3; 7; 21; 47; 141; 329; 987 }
   680 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 17; 20; 34; 40; 68; 85; 136; 170; 340; 680 }

2. Les diviseurs communs de 987 et 680 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 987 et 680 est :

   PGCD(987;680) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 987 et 680 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   987 / 680

   est irréductible.

Un maraîcher a récolté 315 salades et 280 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 9 paniers ? Et Peut-on constituer 5 paniers ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 315 est 3² × 5 × 7.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 280 ?
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

1. Nombre de paniers :

   315 = 9 × 35, mais 280 = 9 × 31 + 1 : le reste n'est pas nul, 280 n'est pas divisible par 9.
   On ne peut pas constituer 9 paniers (tous les bottes de carottes ne seraient pas utilisés).

   315 = 5 × 63 et 280 = 5 × 56 : 315 et 280 sont tous les deux divisibles par 5.
   On peut constituer 5 paniers (63 salades et 56 bottes de carottes dans chaque panier).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 315 = 3² × 5 × 7.
   Décomposition de 280 :

   280	2	280 = 23 × 5 × 7
   140	2
   70	2
   35	5
   7	7
   1

3. Nombre maximal de paniers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 315 et 280 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 315 et 280.

   315 = 3² × 5 × 7 et 280 = 2³ × 5 × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(315;280) = 5 × 7 = 35.
   On pourra constituer au maximum 35 paniers.

4. Composition de chaque panier :

   315 ÷ 35 = 9 et 280 ÷ 35 = 8.
   Chaque panier contiendra 9 salades et 8 bottes de carottes.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 35 secondes, le phare B toutes les 14 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 35 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 35 et 14 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 35 s :

   35 = 1 × 35 : c'est un multiple de 35, le phare A émet donc un éclat (son 1^e depuis minuit).
   35 = 14 × 2 + 7 : le reste n'est pas nul, 35 n'est pas un multiple de 14.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 35 :

   35	5	35 = 5 × 7
   7	7
   1

   Décomposition de 14 :

   14	2	14 = 2 × 7
   7	7
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 35 s, le phare B aux multiples de 14 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 35 et 14 : la première fois, au bout du PPCM.

   35 = 5 × 7 et 14 = 2 × 7
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(35;14) = 2 × 5 × 7 = 70.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 70 s, soit 1 min 10 s.

4. Nombre de tours :

   70 ÷ 35 = 2 et 70 ÷ 14 = 5.
   Le phare A aura émis 2 éclats et le phare B 5 éclats.