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La supériorité de l'animal sur l'homme, c'est que chez l'animal il n'y a pas de chanteuses.
Jean-Jacques Peroni
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 751 et 942 par deux multiples consécutifs de 23.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 74 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 338 ?
10125 10260
63 956
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 270 garçons et les 210 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 42 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 35 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 751 et 942 par deux multiples consécutifs de 23.
On effectue la division euclidienne de 751 par 23 :
On effectue la division euclidienne de 942 par 23 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 74 ?
On effectue la division euclidienne de 74 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 338 ?
On effectue la division euclidienne de 338 par 20 :
| 10125 | 3 | 10125 = 34 × 53 |
| 3375 | 3 | |
| 1125 | 3 | |
| 375 | 3 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 10260 | 2 | 10260 = 22 × 33 × 5 × 19 |
| 5130 | 2 | |
| 2565 | 3 | |
| 855 | 3 | |
| 285 | 3 | |
| 95 | 5 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où10125 10260
=10125:135 10260:135
=75 76
63 : { 1; 3; 7; 9; 21; 63 }
956 : { 1; 2; 4; 239; 478; 956 }
{ 1 }
PGCD(63;956) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 63 et 956 sont premiers entre eux.
Donc la fraction63 956
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 270 garçons et les 210 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
210 = 14 × 15, mais 270 = 14 × 19 + 4 : le reste n'est pas nul, 270 n'est pas divisible par 14.
On ne peut pas constituer 14 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 270 | 2 | 270 = 2 × 33 × 5 |
| 135 | 3 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 210 | 2 | 210 = 2 × 3 × 5 × 7 |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 270 et 210 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 270 et 210.
270 = 2 × 33 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(270;210) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 groupes.
270 ÷ 30 = 9 et 210 ÷ 30 = 7.
Chaque groupe contiendra 9 garçons et 7 filles.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 42 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 35 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 8 h 39, il s'écoule 84 min, et 84 = 2 × 42 :
c'est un multiple de 42, donc un bus de la ligne A part à 8 h 39.
84 = 35 × 2 + 14 : le reste n'est pas nul, 84 n'est pas un multiple de 35.
Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 39.
| 42 | 2 | 42 = 2 × 3 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 35 | 5 | 35 = 5 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 42 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 35 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 42 et 35 : la première fois, au bout du PPCM.
42 = 2 × 3 × 7 et 35 = 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(42;35) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Ils repartiront ensemble 210 min après 7 h 15, soit 3 h 30 min plus tard : à 10 h 45.
210 ÷ 42 = 5 et 210 ÷ 35 = 6.
5 bus de la ligne A et 6 bus de la ligne B seront partis.
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