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La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !
Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 453 et 162 par deux multiples consécutifs de 16.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 260 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 186 ?
2048 675
261 285
Un maraîcher a cueilli 42 pommes et 147 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 36 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 27 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 453 et 162 par deux multiples consécutifs de 16.
On effectue la division euclidienne de 453 par 16 :
On effectue la division euclidienne de 162 par 16 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 260 ?
On effectue la division euclidienne de 260 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 186 ?
On effectue la division euclidienne de 186 par 18 :
| 2048 | 2 | 2048 = 211 |
| 1024 | 2 | |
| 512 | 2 | |
| 256 | 2 | |
| 128 | 2 | |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 675 | 3 | 675 = 33 × 52 |
| 225 | 3 | |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
2048 675
est irréductible.261 : { 1; 3; 9; 29; 87; 261 }
285 : { 1; 3; 5; 15; 19; 57; 95; 285 }
{ 1; 3 }
PGCD(261;285) = 3
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où261 285
=261:3 285:3
=87 95
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 42 pommes et 147 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
42 = 42 × 1, mais 147 = 42 × 3 + 21 : le reste n'est pas nul, 147 n'est pas divisible par 42.
On ne peut pas constituer 42 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
42 = 7 × 6 et 147 = 7 × 21 : 42 et 147 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sacs (6 pommes et 21 poires dans chaque sac).
| 147 | 3 | 147 = 3 × 72 |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 42 et 147 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 42 et 147.
42 = 2 × 3 × 7 et 147 = 3 × 72
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(42;147) = 3 × 7 = 21.
On pourra constituer au maximum 21 sacs.
42 ÷ 21 = 2 et 147 ÷ 21 = 7.
Chaque sac contiendra 2 pommes et 7 poires.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 36 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 27 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.
De 6 h 30 à 7 h 42, il s'écoule 72 min, et 72 = 2 × 36 :
c'est un multiple de 36, donc un bus de la ligne A part à 7 h 42.
72 = 27 × 2 + 18 : le reste n'est pas nul, 72 n'est pas un multiple de 27.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 42.
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 27 | 3 | 27 = 33 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 36 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 27 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 36 et 27 : la première fois, au bout du PPCM.
36 = 22 × 32 et 27 = 33
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(36;27) = 22 × 33 = 108.
Ils repartiront ensemble 108 min après 6 h 30, soit 1 h 48 min plus tard : à 8 h 18.
108 ÷ 36 = 3 et 108 ÷ 27 = 4.
3 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.
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