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La mort semble bien moins terrible, quand on est fatigué.
Simone de Beauvoir
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 213 et 841 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 165 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 346 ?
4104 9625
60 276
Un chocolatier a confectionné 110 truffes au café et 88 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 213 et 841 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 213 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 841 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 165 ?
On effectue la division euclidienne de 165 par 13 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 346 ?
On effectue la division euclidienne de 346 par 21 :
| 4104 | 2 | 4104 = 23 × 33 × 19 |
| 2052 | 2 | |
| 1026 | 2 | |
| 513 | 3 | |
| 171 | 3 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 9625 | 5 | 9625 = 53 × 7 × 11 |
| 1925 | 5 | |
| 385 | 5 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
4104 9625
est irréductible.60 : { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 }
276 : { 1; 2; 3; 4; 6; 12; 23; 46; 69; 92; 138; 276 }
{ 1; 2; 3; 4; 6; 12 }
PGCD(60;276) = 12
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où60 276
=60:12 276:12
=5 23
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un chocolatier a confectionné 110 truffes au café et 88 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
88 = 44 × 2, mais 110 = 44 × 2 + 22 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas divisible par 44.
On ne peut pas constituer 44 boîtes (tous les truffes au café ne seraient pas utilisés).
| 110 | 2 | 110 = 2 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 88 | 2 | 88 = 23 × 11 |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
{ 1; 2; 11; 22 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 110 et 88 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 110 et 88.
Le plus grand des diviseurs communs est 22.
On pourra constituer au maximum 22 boîtes.
110 ÷ 22 = 5 et 88 ÷ 22 = 4.
Chaque boîte contiendra 5 truffes au café et 4 truffes à la noix de coco.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 30 = 30 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 30 = 12 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 12.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 30 et 12 : la première fois, au PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 30 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
60 ÷ 12 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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