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Mieux vaut être dévoré par les remords dans la forêt de Forbach qu'être dévoré par les morbacs dans la forêt de Francfort
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 506 et 819 par deux multiples consécutifs de 8.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 568 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 86 ?
2205 6600
176 9765
Un aquaculteur élève 297 petits bénitiers et 231 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 24 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 506 et 819 par deux multiples consécutifs de 8.
On effectue la division euclidienne de 506 par 8 :
On effectue la division euclidienne de 819 par 8 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 568 ?
On effectue la division euclidienne de 568 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 86 ?
On effectue la division euclidienne de 86 par 6 :
| 2205 | 3 | 2205 = 32 × 5 × 72 |
| 735 | 3 | |
| 245 | 5 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 6600 | 2 | 6600 = 23 × 3 × 52 × 11 |
| 3300 | 2 | |
| 1650 | 2 | |
| 825 | 3 | |
| 275 | 5 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2205 6600
=2205:15 6600:15
=147 440
176 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 44; 88; 176 }
9765 : { 1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 31; 35; 45; 63; 93; 105; 155; 217; 279; 315; 465; 651; 1085; 1395; 1953; 3255; 9765 }
{ 1 }
PGCD(176;9765) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 176 et 9765 sont premiers entre eux.
Donc la fraction176 9765
est irréductible.Un aquaculteur élève 297 petits bénitiers et 231 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
297 = 27 × 11, mais 231 = 27 × 8 + 15 : le reste n'est pas nul, 231 n'est pas divisible par 27.
On ne peut pas constituer 27 lots (tous les grands bénitiers ne seraient pas utilisés).
| 297 | 3 | 297 = 33 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 231 | 3 | 231 = 3 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
{ 1; 3; 11; 33 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 297 et 231 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 297 et 231.
Le plus grand des diviseurs communs est 33.
On pourra constituer au maximum 33 lots.
297 ÷ 33 = 9 et 231 ÷ 33 = 7.
Chaque lot contiendra 9 petits bénitiers et 7 grands bénitiers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 24 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 36 = 36 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 36 = 24 × 1 + 12 : le reste n'est pas nul, 36 n'est pas un multiple de 24.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 24 | 2 | 24 = 23 × 3 |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 36 et 24 : la première fois, au PPCM.
36 = 22 × 32 et 24 = 23 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(36;24) = 23 × 32 = 72.
Il passe 72 dents au point de contact, soit 72 ÷ 36 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
72 ÷ 24 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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