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L'incrédulité est quelquefois le vice d'un sot, et la crédulité le défaut d'un homme d'esprit.
Denis Diderot (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 728 et 847 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 12 inférieur à 267 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 292 ?
4617 15925
960 459
Un chocolatier a confectionné 225 truffes au café et 175 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 12 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 728 et 847 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 728 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 847 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 12 inférieur à 267 ?
On effectue la division euclidienne de 267 par 12 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 292 ?
On effectue la division euclidienne de 292 par 26 :
| 4617 | 3 | 4617 = 35 × 19 |
| 1539 | 3 | |
| 513 | 3 | |
| 171 | 3 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 15925 | 5 | 15925 = 52 × 72 × 13 |
| 3185 | 5 | |
| 637 | 7 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
4617 15925
est irréductible.960 : { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; 48; 60; 64; 80; 96; 120; 160; 192; 240; 320; 480; 960 }
459 : { 1; 3; 9; 17; 27; 51; 153; 459 }
{ 1; 3 }
PGCD(960;459) = 3
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où960 459
=960:3 459:3
=320 153
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un chocolatier a confectionné 225 truffes au café et 175 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
225 = 3 × 75, mais 175 = 3 × 58 + 1 : le reste n'est pas nul, 175 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 boîtes (tous les truffes à la noix de coco ne seraient pas utilisés).
225 = 5 × 45 et 175 = 5 × 35 : 225 et 175 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 boîtes (45 truffes au café et 35 truffes à la noix de coco dans chaque boîte).
| 225 | 3 | 225 = 32 × 52 |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 175 | 5 | 175 = 52 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 225 et 175 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 225 et 175.
225 = 32 × 52 et 175 = 52 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(225;175) = 52 = 25.
On pourra constituer au maximum 25 boîtes.
225 ÷ 25 = 9 et 175 ÷ 25 = 7.
Chaque boîte contiendra 9 truffes au café et 7 truffes à la noix de coco.
Un engrenage est composé d'une roue A de 12 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 4 × 12 = 48 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 48 = 20 × 2 + 8 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas un multiple de 20.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 12 et 20 : la première fois, au PPCM.
12 = 22 × 3 et 20 = 22 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;20) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 12 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
60 ÷ 20 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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