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« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 15872 et 2925 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   15872 / 2925

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 428 et 964.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 428 et 964.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   428 / 964

Une médiathèque se sépare de 48 DVD pour enfants et de 108 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD pour enfants.
• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD de documentaires.
• Tous les DVD sont vendus.

1. Peut-on constituer 24 lots ?
2. Décompose 48 et 108 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 48 et 108.
4. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 6 secondes, le phare B toutes les 4 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 6 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 6 et 4 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 441 par 6 :

• 441 = 6 × 73 + 3 et 3 < 6
• 441 = 438 + 3
• donc 438 < 441 < 444 (438 + 6)

On effectue la division euclidienne de 63 par 6 :

• 63 = 6 × 10 + 3 et 3 < 6
• 63 = 60 + 3
• donc 60 < 63 < 66 (60 + 6)

1. Décompositions :
   15872 = 2⁹ × 31
   2925 = 3² × 5² × 13
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(15872;2925) = 2⁹ × 3² × 5² × 13 × 31 = 46425600
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(15872,2925) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 15872 et 2925 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   15872 / 2925

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   428 : { 1; 2; 4; 107; 214; 428 }
   964 : { 1; 2; 4; 241; 482; 964 }

2. Les diviseurs communs de 428 et 964 sont :

   { 1; 2; 4 }

3. Le plus grand diviseur commun de 428 et 964 est :

   PGCD(428;964) = 4

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   428 / 964

   =

   428:4 / 964:4

   =

   107 / 241

Une médiathèque se sépare de 48 DVD pour enfants et de 108 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD pour enfants.
• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD de documentaires.
• Tous les DVD sont vendus.

1. Peut-on constituer 24 lots ?
2. Décompose 48 et 108 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 48 et 108.
4. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   48 = 24 × 2, mais 108 = 24 × 4 + 12 : le reste n'est pas nul, 108 n'est pas divisible par 24.
   On ne peut pas constituer 24 lots (tous les DVD de documentaires ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 48 :

   48	2	48 = 24 × 3
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 108 :

   108	2	108 = 22 × 33
   54	2
   27	3
   9	3
   3	3
   1

3. Les diviseurs communs à 48 et 108 sont :

   { 1; 2; 3; 4; 6; 12 }

4. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 48 et 108 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 48 et 108.

   Le plus grand des diviseurs communs est 12.
   On pourra constituer au maximum 12 lots.

5. Composition de chaque lot :

   48 ÷ 12 = 4 et 108 ÷ 12 = 9.
   Chaque lot contiendra 4 DVD pour enfants et 9 DVD de documentaires.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 6 secondes, le phare B toutes les 4 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 6 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 6 et 4 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 6 s :

   6 = 1 × 6 : c'est un multiple de 6, le phare A émet donc un éclat (son 1^e depuis minuit).
   6 = 4 × 1 + 2 : le reste n'est pas nul, 6 n'est pas un multiple de 4.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 6 :

   6	2	6 = 2 × 3
   3	3
   1

   Décomposition de 4 :

   4	2	4 = 22
   2	2
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 6 s, le phare B aux multiples de 4 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 6 et 4 : la première fois, au bout du PPCM.

   6 = 2 × 3 et 4 = 2²
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(6;4) = 2² × 3 = 12.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 12 s.

4. Nombre de tours :

   12 ÷ 6 = 2 et 12 ÷ 4 = 3.
   Le phare A aura émis 2 éclats et le phare B 3 éclats.