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Ce n'est pas pour s'amuser qu'il joue aux échecs : il célèbre un culte.
Vladimir Nabokov
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 409 et 65 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 100 ?
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 100 ?
8330 2200
1863 14560
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 140 garçons et les 40 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 94 s et un pilote amateur en 141 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 409 et 65 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 409 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 65 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 100 ?
On effectue la division euclidienne de 100 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 100 ?
On effectue la division euclidienne de 100 par 7 :
| 8330 | 2 | 8330 = 2 × 5 × 72 × 17 |
| 4165 | 5 | |
| 833 | 7 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 2200 | 2 | 2200 = 23 × 52 × 11 |
| 1100 | 2 | |
| 550 | 2 | |
| 275 | 5 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8330 2200
=8330:10 2200:10
=833 220
1863 : { 1; 3; 9; 23; 27; 69; 81; 207; 621; 1863 }
14560 : { 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 13; 14; 16; 20; 26; 28; 32; 35; 40; 52; 56; 65; 70; 80; 91; 104; 112; 130; 140; 160; 182; 208; 224; 260; 280; 364; 416; 455; 520; 560; 728; 910; 1040; 1120; 1456; 1820; 2080; 2912; 3640; 7280; 14560 }
{ 1 }
PGCD(1863;14560) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1863 et 14560 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1863 14560
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 140 garçons et les 40 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
40 = 40 × 1, mais 140 = 40 × 3 + 20 : le reste n'est pas nul, 140 n'est pas divisible par 40.
On ne peut pas constituer 40 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 140 et 40 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 140 et 40.
140 = 22 × 5 × 7 et 40 = 23 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(140;40) = 22 × 5 = 20.
On pourra constituer au maximum 20 groupes.
140 ÷ 20 = 7 et 40 ÷ 20 = 2.
Chaque groupe contiendra 7 garçons et 2 filles.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 94 s et un pilote amateur en 141 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
188 = 2 × 94 : le professionnel a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
188 = 141 × 1 + 47 : le reste n'est pas nul, 188 n'est pas un multiple de 141.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 1 tour et 47 s.
| 94 | 2 | 94 = 2 × 47 |
| 47 | 47 | |
| 1 |
| 141 | 3 | 141 = 3 × 47 |
| 47 | 47 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 94 s (aux multiples de 94), et l'amateur toutes les 141 s (aux multiples de 141). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 94 et 141 : la première fois, au bout du PPCM de 94 et 141.
94 = 2 × 47 et 141 = 3 × 47
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(94;141) = 2 × 3 × 47 = 282.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 282 s, soit 4 min 42 s.
282 ÷ 94 = 3 et 282 ÷ 141 = 2.
Le professionnel aura fait 3 tours et l'amateur 2 tours.
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