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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 565 et 949 par deux multiples consécutifs de 23.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 109 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 475 ?
6237 3136
7047 8500
Pour une fête, un cuisinier a préparé 297 nems et 132 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 16 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 565 et 949 par deux multiples consécutifs de 23.
On effectue la division euclidienne de 565 par 23 :
On effectue la division euclidienne de 949 par 23 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 109 ?
On effectue la division euclidienne de 109 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 475 ?
On effectue la division euclidienne de 475 par 26 :
| 6237 | 3 | 6237 = 34 × 7 × 11 |
| 2079 | 3 | |
| 693 | 3 | |
| 231 | 3 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 3136 | 2 | 3136 = 26 × 72 |
| 1568 | 2 | |
| 784 | 2 | |
| 392 | 2 | |
| 196 | 2 | |
| 98 | 2 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où6237 3136
=6237:7 3136:7
=891 448
7047 : { 1; 3; 9; 27; 29; 81; 87; 243; 261; 783; 2349; 7047 }
8500 : { 1; 2; 4; 5; 10; 17; 20; 25; 34; 50; 68; 85; 100; 125; 170; 250; 340; 425; 500; 850; 1700; 2125; 4250; 8500 }
{ 1 }
PGCD(7047;8500) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7047 et 8500 sont premiers entre eux.
Donc la fraction7047 8500
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Pour une fête, un cuisinier a préparé 297 nems et 132 samoussas. Il veut les répartir dans des barquettes.
132 = 6 × 22, mais 297 = 6 × 49 + 3 : le reste n'est pas nul, 297 n'est pas divisible par 6.
On ne peut pas constituer 6 barquettes (tous les nems ne seraient pas utilisés).
297 = 3 × 99 et 132 = 3 × 44 : 297 et 132 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 barquettes (99 nems et 44 samoussas dans chaque barquette).
| 297 | 3 | 297 = 33 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 132 | 2 | 132 = 22 × 3 × 11 |
| 66 | 2 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de barquettes doit diviser à la fois 297 et 132 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de barquettes est donc le PGCD de 297 et 132.
297 = 33 × 11 et 132 = 22 × 3 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(297;132) = 3 × 11 = 33.
On pourra constituer au maximum 33 barquettes.
297 ÷ 33 = 9 et 132 ÷ 33 = 4.
Chaque barquette contiendra 9 nems et 4 samoussas.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 16 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.
De 6 h 30 à 7 h 02, il s'écoule 32 min, et 32 = 2 × 16 :
c'est un multiple de 16, donc un bus de la ligne A part à 7 h 02.
32 = 12 × 2 + 8 : le reste n'est pas nul, 32 n'est pas un multiple de 12.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 02.
| 16 | 2 | 16 = 24 |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 16 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 12 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 16 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.
16 = 24 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(16;12) = 24 × 3 = 48.
Ils repartiront ensemble 48 min après 6 h 30 : à 7 h 18.
48 ÷ 16 = 3 et 48 ÷ 12 = 4.
3 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.
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